( 2 , 5 pts.) Considere a sólido E delimitada pelo parabolóide z=4-x^2-y^2 e pelo plano z=0 e função densidade rho(x, y, z)=z^4. Calcule a massa da região E.

Passo 1

O enunciado pede a massa da região E limitada pelo parabolóide z=4 - x^2 - y^2 e pelo plano z=0 com densidade rho(x,y,z)=z^4. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z) para aproveitar a simetria do sólido e escrever a massa como
massa = integral triplaE z^4 ,dV

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e ,dV = r,dr,dtheta,dz. A região E fica descrita por
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= 2, 0 <= z <= 4 - r^2
Logo
massa = integraltheta=0^2pi!integralr=0^2!integralz=0^4 - r^2 z^4 ,r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro calculemos a integral em z:
integralz=0^4 - r^2 z^4,dz = l[tfrac15z^5r]0^4 - r^2 = tfrac15(4 - r^2)^5
Assim
massa = integral0^2pi!dtheta;integral0^2 tfrac15(4 - r^2)^5,r,dr = tfrac2pi5integral0^2(4 - r^2)^5,r,dr

Passo 4

Para resolver integral0^2(4 - r^2)^5,r,dr use a substituição u = 4 - r^2, du = -2r,dr, logo r,dr = -tfrac12,du. Quando r=0, u=4; quando r=2, u=0. Então
integral0^2(4 - r^2)^5,r,dr = integralu=4^0 u^5!l(-tfrac12,dur) = tfrac12integral0^4u^5,du = tfrac12l[tfracu^66r]0^4 = tfrac4^612 = tfrac409612 = tfrac10243

Passo 5

Substituindo de volta na massa:
massa = tfrac2pi5,cdottfrac10243 = tfrac2048pi15

Resposta

A massa da região E é
2048pi15

Exercícios relacionados