Calcule as seguintes integrais usando tanto substituição trigonométrica quanto substituição hiperbólica.
\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}
usando dois métodos de substituição: trigonométrica e hiperbólica. Vamos precisar conhecer as identidades \sqrt{x^{2}+a^{2}} com x=a\tan\theta e com x=a\operatorname{sinh} t, e saber integrar \operatorname{sec}\theta e integrar 1.

Passo 2

Fazendo a substituição trigonométrica
x = a\tan\theta, \quad dx = a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \quad \sqrt{x^{2}+a^{2}} = \sqrt{a^{2}\tan^{2}\theta + a^{2}} = a\operatorname{sec}\theta.
Substituindo na integral obtemos
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} = \int \frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{a\operatorname{sec}\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 3

Sabemos que
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.
Voltando a x, temos \tan\theta = x/a e \operatorname{sec}\theta = \sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{1+(x/a)^{2}}=\sqrt{x^{2}+a^{2}}/a. Logo
\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| = \ln\!\biggl|\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a} + \frac{x}{a}\biggr| = \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}\bigr| - \ln|a|.
Como -\ln|a| é constante, absorvemos em C e ficamos com
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} = \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}\bigr| + C.

Passo 4

Agora a substituição hiperbólica
x = a\operatorname{sinh} t, \quad dx = a\operatorname{cosh} t\,dt, \quad \sqrt{x^{2}+a^{2}} = \sqrt{a^{2}\operatorname{sinh}^{2}t + a^{2}} = a\operatorname{cosh} t.
A integral vira
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} = \int \frac{a\operatorname{cosh} t\,dt}{a\operatorname{cosh} t} = \int dt.

Passo 5

Integramos diretamente
\int dt = t + C,
e como t = \operatorname{arsinh}\bigl(x/a\bigr), usamos
\operatorname{arsinh}u = \ln\!\bigl(u + \sqrt{u^{2}+1}\bigr)
com u=x/a. Assim
t = \ln\!\Bigl(\frac{x}{a} + \sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{x + \sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}\Bigr) = \ln\bigl(x + \sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr) - \ln|a|.
Absorvendo -\ln|a| em C, chega-se ao mesmo resultado.

Resposta

\displaystyle \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}\bigr| + C

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