Considere o seguinte sinal:
x(t)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leq t<4 \\\ -1, & 4 \leq t<6 \\\ 0, & t<0 \text { ou } t \geq 6\end{array}\right.
Esboce o sinal x_{2}(t)=x(-t).

Passo 1

O enunciado dá o sinal x(t)\) definido por partes: \[x(t)=\begin{cases} 1, & 0 \leq t<4,\\[4pt] -1, & 4 \leq t<6,\\[4pt] 0, & t<0\\ \text{ou}\\ t\geq 6. \end{cases}
A pergunta é: esboçar o sinal x_2(t)=x(-t)\]. Ou seja, queremos a versão de \(x(t) refletida no eixo do tempo (transformação t\mapsto -t). Listei acima todas as informações dadas pelo enunciado (valores e intervalos de x(t)). A partir daqui vamos construir x_2(t).]

Passo 2

Entendendo a operação x_2(t)=x(-t) (regra prática).
  • Significado: para cada tempo t, x_2(t) toma o valor que x tinha no tempo -t. Em palavras: “olho para x no instante -t e esse é o valor em t do sinal refletido”.
  • Efeito geométrico: isso corresponde a uma reflexão (espelhamento) do gráfico de x(t) em relação ao eixo vertical t=0. Por exemplo, o valor que estava em t=1 passa a estar em t=-1, o que estava em t=4 passa a estar em t=-4, etc.
  • Estratégia prática: pegar cada intervalo do enunciado (onde x vale algo) e substituir a condição sobre t por uma condição sobre -t; depois resolver a desigualdade para t.

Passo 3

Transformando o intervalo onde x(t)=1.
  • Originalmente x(t)=1 quando 0 \leq t<4.
  • Para x_2 queremos os t tais que -t esteja nesse intervalo, ou seja:
0 \leq -t < 4.
  • Para resolver, multiplica-se por -1 (lembrando que ao multiplicar por -1 as desigualdades invertem):
0 \geq t > -4.
  • Reescrevendo em ordem crescente de t: -4 < t \leq 0.
  • Conclusão parcial: em -4 < t \leq 0 temos x_2(t)=1.

Passo 4

Transformando o intervalo onde x(t)=-1.
  • Originalmente x(t)=-1 quando 4 \leq t<6.
  • Procuramos t tais que -t esteja aí:
4 \leq -t < 6.
  • Multiplicando por -1 e invertendo desigualdades:
-4 \geq t > -6.
  • Reescrevendo em ordem crescente: -6 < t \leq -4.
  • Conclusão parcial: em -6 < t \leq -4 temos x_2(t)=-1.

Passo 5

Transformando os trechos onde x(t)=0.
  • Originalmente x(t)=0 para t<0 e para t\geq 6.
  • Primeiro caso: t<0. Queremos -t<0 para obter x_2(t)=0 por essa origem. Resolver -t<0 t>0.
  • Segundo caso: t\geq 6. Queremos -t\geq 6. Resolver -t\geq 6 t\leq -6.
  • Conclusão parcial: x_2(t)=0 para t>0 e também para t\leq -6.

Passo 6

Verificações de pontos de fronteira (para garantir que incluímos/excluímos corretamente):
  • t=0: x_2(0)=x(0)=1. Nosso intervalo -4 < t \leq 0 inclui t=0, então x_2(0)=1 está consistente.
  • t=-4: x_2(-4)=x(4)=-1. Nosso intervalo -6 < t \leq -4 inclui t=-4, então x_2(-4)=-1 está consistente.
  • t=-6: x_2(-6)=x(6)=0. Nosso caso t\leq -6 x_2(-6)=0 — consistente.
    Essas checagens confirmam as inclusões/exclusões nos extremos.

Passo 7

Como esboçar (instruções passo a passo para desenhar):
  • Desenhe o eixo t horizontal e o eixo x_2(t) vertical.
  • Marque os pontos t=-6,\\\ -4,\\\ 0.
  • Para t\leq -6 desenhe x_2(t)=0 (reta no zero). No ponto t=-6 marque um ponto cheio em 0.
  • Entre t=-6 e t=-4 (isto é, -6<t\leq -4) desenhe um retângulo de altura -1 (nível -1). No t=-4 marque ponto cheio em -1.
  • Entre t=-4 e t=0 (isto é, -4<t\leq 0) desenhe um retângulo de altura 1. No t=0 marque ponto cheio em 1.
  • Para t>0 desenhe x_2(t)=0 (reta no zero).
  • O gráfico resultante é o de x(t) espelhado em t=0: dois pulsos retangulares, um negativo entre -6 e -4 e um positivo entre -4 e 0, zeros fora desses intervalos.

Resposta

x_2(t)=\begin{cases} 0, & t\leq -6,\\[4pt] -1, & -6 < t \leq -4,\\[4pt] 1, & -4 < t \leq 0,\\[4pt] 0, & t>0. \end{cases}]

Exercícios relacionados