O enunciado dá o sinal x(t)\) definido por partes:
\[x(t)=\begin{cases} 1, & 0 \leq t<4,\\[4pt] -1, & 4 \leq t<6,\\[4pt] 0, & t<0\\ \text{ou}\\ t\geq 6. \end{cases}
A pergunta é: esboçar o sinal x_2(t)=x(-t)\]. Ou seja, queremos a versão de \(x(t) refletida no eixo do tempo (transformação t\mapsto -t). Listei acima todas as informações dadas pelo enunciado (valores e intervalos de x(t)). A partir daqui vamos construir x_2(t).]
Passo 2
Entendendo a operação x_2(t)=x(-t) (regra prática).
Significado: para cada tempo t, x_2(t) toma o valor que x tinha no tempo -t. Em palavras: “olho para x no instante -t e esse é o valor em t do sinal refletido”.
Efeito geométrico: isso corresponde a uma reflexão (espelhamento) do gráfico de x(t) em relação ao eixo vertical t=0. Por exemplo, o valor que estava em t=1 passa a estar em t=-1, o que estava em t=4 passa a estar em t=-4, etc.
Estratégia prática: pegar cada intervalo do enunciado (onde x vale algo) e substituir a condição sobre t por uma condição sobre -t; depois resolver a desigualdade para t.
Passo 3
Transformando o intervalo onde x(t)=1.
Originalmente x(t)=1 quando 0 \leq t<4.
Para x_2 queremos os t tais que -t esteja nesse intervalo, ou seja:
0 \leq -t < 4.
Para resolver, multiplica-se por -1 (lembrando que ao multiplicar por -1 as desigualdades invertem):
0 \geq t > -4.
Reescrevendo em ordem crescente de t: -4 < t \leq 0.
Conclusão parcial: em -4 < t \leq 0 temos x_2(t)=1.
Passo 4
Transformando o intervalo onde x(t)=-1.
Originalmente x(t)=-1 quando 4 \leq t<6.
Procuramos t tais que -t esteja aí:
4 \leq -t < 6.
Multiplicando por -1 e invertendo desigualdades:
-4 \geq t > -6.
Reescrevendo em ordem crescente: -6 < t \leq -4.
Conclusão parcial: em -6 < t \leq -4 temos x_2(t)=-1.
Passo 5
Transformando os trechos onde x(t)=0.
Originalmente x(t)=0 para t<0 e para t\geq 6.
Primeiro caso: t<0. Queremos -t<0 para obter x_2(t)=0 por essa origem. Resolver -t<0 dá t>0.
Segundo caso: t\geq 6. Queremos -t\geq 6. Resolver -t\geq 6 dá t\leq -6.
Conclusão parcial: x_2(t)=0 para t>0 e também para t\leq -6.
Passo 6
Verificações de pontos de fronteira (para garantir que incluímos/excluímos corretamente):
t=0: x_2(0)=x(0)=1. Nosso intervalo -4 < t \leq 0 inclui t=0, então x_2(0)=1 está consistente.
t=-4: x_2(-4)=x(4)=-1. Nosso intervalo -6 < t \leq -4 inclui t=-4, então x_2(-4)=-1 está consistente.
t=-6: x_2(-6)=x(6)=0. Nosso caso t\leq -6 dá x_2(-6)=0 — consistente.
Essas checagens confirmam as inclusões/exclusões nos extremos.
Passo 7
Como esboçar (instruções passo a passo para desenhar):
Desenhe o eixo t horizontal e o eixo x_2(t) vertical.
Marque os pontos t=-6,\\\ -4,\\\ 0.
Para t\leq -6 desenhe x_2(t)=0 (reta no zero). No ponto t=-6 marque um ponto cheio em 0.
Entre t=-6 e t=-4 (isto é, -6<t\leq -4) desenhe um retângulo de altura -1 (nível -1). No t=-4 marque ponto cheio em -1.
Entre t=-4 e t=0 (isto é, -4<t\leq 0) desenhe um retângulo de altura 1. No t=0 marque ponto cheio em 1.
Para t>0 desenhe x_2(t)=0 (reta no zero).
O gráfico resultante é o de x(t) espelhado em t=0: dois pulsos retangulares, um negativo entre -6 e -4 e um positivo entre -4 e 0, zeros fora desses intervalos.