[Valor: 3,0 ] Uma bola é arremessada para cima com uma velocidade de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} à beira de um penhasco que está a 130 metros acima do solo.
(a.) Determine a altura h(t) da bola acima do nível do solo no instante t.
(b.) Quando a bola atinge sua altura máxima e qual é essa altura?
(c.) Quanto tempo leva para a bola atingir o solo?

Passo 1

O enunciado dá um experimento com as seguintes informações e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Dados fornecidos:
    • A bola é arremessada para cima com velocidade inicial 15\\ \mathrm{m/s}. Vou anotar isso como velocidade inicial \,v_0=15\\ \mathrm{m/s}.
    • A beira do penhasco está a 130\\ \mathrm{m} acima do solo. Esse é o deslocamento vertical inicial \,h_0=130\\ \mathrm{m}.
    • A aceleração da gravidade age para baixo e vale aproximadamente \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O que o enunciado pergunta:
    • (a) Determinar a altura h(t) da bola acima do nível do solo no instante t.
    • (b) Quando a bola atinge sua altura máxima (isto é, o instante) e qual é essa altura máxima.
    • (c) Quanto tempo leva para a bola atingir o solo (isto é, achar t>0 tal que h(t)=0).

Passo 2

Montando a equação do movimento vertical — explicando a fórmula passo a passo:
  • Convenção: tomo para cima o sentido positivo. Assim, a aceleração é -g (negativa porque aponta para baixo).
  • A posição vertical h(t) em movimento uniformemente acelerado com velocidade inicial v_0 e posição inicial h_0 é dada pela fórmula padrão:
h(t)=h_0+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2.
Aqui:
  • h(t) é a altura acima do solo no instante t.
  • h_0 é a altura inicial (quando t=0).
  • v_0 é a velocidade inicial (positiva se para cima).
  • a é a aceleração (no nosso caso a=-g).
  • Substituindo a=-g obtemos:
h(t)=h_0+v_0 t-\tfrac{1}{2} g t^2.
Isso é um polinômio quadrático em t (uma parábola voltada para baixo porque o coeficiente de t^2 é negativo).

Passo 3

Aplicando os valores iniciais para responder (a):
  • Temos h_0=130, v_0=15 e g=9,8. Substituindo na fórmula:
h(t)=130+15t-\tfrac{1}{2}\cdot 9,8\;t^2.
  • Calculando \tfrac{1}{2}\cdot 9,8=4,9, então a expressão final é
h(t)=130+15t-4,9t^2.
Essa é a altura da bola acima do solo no instante t (em metros, com t em segundos).

Passo 4

Determinar o instante de altura máxima — ideia e método:
  • A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical instantânea se anula (a bola sobe, para momentaneamente, e começa a descer).
  • A velocidade como função do tempo é a derivada de h(t):
v(t)=h'(t)=v_0 - g.
Na prática, derivando a expressão obtida:
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(130+15t-4,9t^2\bigr)=15-9,8t.
  • Para achar o tempo de altura máxima, imponho v(t)=0 e resolvo para t.

Passo 5

Cálculo do instante da altura máxima e da altura máxima (responde (b)):
  • Resolver 15-9,8t=0
t=\frac{15}{9,8}.
  • Fazendo a divisão (aproximação com duas casas decimais):
t\approx 1,53\\ \mathrm{s}.
  • Agora calculo a altura máxima substituindo esse t em h(t). Vou usar a fórmula direta ou a fórmula do vértice da parábola; aqui uso a substituição direta para ficar claro:
h_{\max}=h(1,53)=130+15\cdot 1,53 - 4,9\cdot (1,53)^2.
Faço as contas passo a passo:
  • 15\cdot 1,53\approx 22,95.
  • (1,53)^2\approx 2,3409.
  • 4,9\cdot 2,3409\approx 11,48.
  • Então h_{\max}\approx 130 + 22,95 - 11,48 =141,47\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando convenientemente:
h_{\max}\approx 141,5\\ \mathrm{m}.
(Se preferir mais precisão, pode manter t=\dfrac{15}{9,8} e calcular exatamente com uma calculadora.)

Passo 6

Determinar o tempo até a bola atingir o solo — método (responde (c)):
  • A bola atinge o solo quando h(t)=0. Então resolvo a equação quadrática
130+15t-4,9t^2=0.
  • É mais conveniente escrevê-la na forma padrão at^2+bt+c=0. Multiplicando por -1 ou rearranjando:
-4,9t^2+15t+130=0.
Aqui a=-4,9, b=15, c=130. Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Passo 7

Cálculo do discriminante e das raízes — escolha da raiz fisicamente válida:
  • Calculo do discriminante:
\Delta=b^2-4ac=15^2-4\cdot(-4,9)\cdot 130.
Faço as contas:
  • 15^2=225.
  • -4\cdot(-4,9)\cdot 130=+4\cdot4,9\cdot130=19,6\cdot130=2548.
  • Logo \Delta=225+2548=2773.
  • A raiz quadrada:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{2773}\approx 52,65.
  • Agora aplico Bhaskara:
t=\frac{-15\pm 52,65}{2\cdot(-4,9)}=\frac{-15\pm 52,65}{-9,8}.
Calculo as duas soluções:
  • Solução 1: t_1=\dfrac{-15+52,65}{-9,8}=\dfrac{37,65}{-9,8}\approx -3,84\\ \mathrm{s} (essa é negativa, não faz sentido físico para tempo futuro).
  • Solução 2: t_2=\dfrac{-15-52,65}{-9,8}=\dfrac{-67,65}{-9,8}\approx 6,91\\ \mathrm{s}.
  • A solução fisicamente relevante é o tempo positivo:
t\approx 6,91\\ \mathrm{s}.
Isso responde quanto tempo leva para a bola, lançada do penhasco, atingir o solo.

Resposta

(a) h(t)=130+15t-4,9t^2.
(b) t_{\text{máx}}\approx 1,53\\ \mathrm{s}á e h_{\text{máx}}\approx 141,5\\ \mathrm{m}.á
(c) Tempo até atingir o solo: t\approx 6,91\\ \mathrm{s}.

Exercícios relacionados