[Valor: 3,0 ] Uma bola é arremessada para cima com uma velocidade de
à beira de um penhasco que está a 130 metros acima do solo.
(a.) Determine a altura
da bola acima do nível do solo no instante
.
(b.) Quando a bola atinge sua altura máxima e qual é essa altura?
(c.) Quanto tempo leva para a bola atingir o solo?
(a.) Determine a altura
(b.) Quando a bola atinge sua altura máxima e qual é essa altura?
(c.) Quanto tempo leva para a bola atingir o solo?
Passo 1
O enunciado dá um experimento com as seguintes informações e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
- Dados fornecidos:
- A bola é arremessada para cima com velocidade inicial
. Vou anotar isso como velocidade inicial - A beira do penhasco está a
acima do solo. Esse é o deslocamento vertical inicial - A aceleração da gravidade age para baixo e vale aproximadamente
- A bola é arremessada para cima com velocidade inicial
- O que o enunciado pergunta:
- (a) Determinar a altura
da bola acima do nível do solo no instante . - (b) Quando a bola atinge sua altura máxima (isto é, o instante) e qual é essa altura máxima.
- (c) Quanto tempo leva para a bola atingir o solo (isto é, achar
tal que ).
- (a) Determinar a altura
Passo 2
Montando a equação do movimento vertical — explicando a fórmula passo a passo:
- Convenção: tomo para cima o sentido positivo. Assim, a aceleração é
(negativa porque aponta para baixo). - A posição vertical
em movimento uniformemente acelerado com velocidade inicial e posição inicial é dada pela fórmula padrão:
Aqui:
-
é a altura acima do solo no instante . -
é a altura inicial (quando ). -
é a velocidade inicial (positiva se para cima). -
é a aceleração (no nosso caso ). - Substituindo
obtemos:
Isso é um polinômio quadrático em
(uma parábola voltada para baixo porque o coeficiente de
é negativo).
Passo 3
Aplicando os valores iniciais para responder (a):
- Temos
, e . Substituindo na fórmula:
- Calculando
, então a expressão final é
Essa é a altura da bola acima do solo no instante
(em metros, com
em segundos).
Passo 4
Determinar o instante de altura máxima — ideia e método:
- A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical instantânea se anula (a bola sobe, para momentaneamente, e começa a descer).
- A velocidade como função do tempo é a derivada de
:
Na prática, derivando a expressão obtida:
- Para achar o tempo de altura máxima, imponho
e resolvo para .
Passo 5
Cálculo do instante da altura máxima e da altura máxima (responde (b)):
- Resolver
dá
- Fazendo a divisão (aproximação com duas casas decimais):
- Agora calculo a altura máxima substituindo esse
em . Vou usar a fórmula direta ou a fórmula do vértice da parábola; aqui uso a substituição direta para ficar claro:
Faço as contas passo a passo:
-
-
-
- Então
- Arredondando convenientemente:
(Se preferir mais precisão, pode manter
e calcular exatamente com uma calculadora.)
Passo 6
Determinar o tempo até a bola atingir o solo — método (responde (c)):
- A bola atinge o solo quando
. Então resolvo a equação quadrática
- É mais conveniente escrevê-la na forma padrão
. Multiplicando por ou rearranjando:
Aqui
,
,
. Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Passo 7
Cálculo do discriminante e das raízes — escolha da raiz fisicamente válida:
- Calculo do discriminante:
Faço as contas:
-
-
- Logo
- A raiz quadrada:
- Agora aplico Bhaskara:
Calculo as duas soluções:
- Solução 1:
(essa é negativa, não faz sentido físico para tempo futuro). - Solução 2:
- A solução fisicamente relevante é o tempo positivo:
Isso responde quanto tempo leva para a bola, lançada do penhasco, atingir o solo.
Resposta
(a)
(b) e
(c) Tempo até atingir o solo:
(b)
(c) Tempo até atingir o solo: