Encontre o domínio de definição da função f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!} x^{n}.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o domínio de definição da função
f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!} x^{n}.
Informações e observações importantes fornecidas pelo enunciado:
A soma é uma série de potências centrada em 0.
O termo geral é \displaystyle \frac{n^{n}}{n!}x^{n}.
A soma vai de n=0 até +\infty. (Observação: o termo n=0 envolve 0^{0}; em séries de potências é comum adotar 0^{0}=1, então o termo n=0 vale 1.)
Precisamos determinar para quais valores de x\in\mathbb{R} essa série converge (ou seja, o conjunto de pontos onde f(x) está definida).
Passo 2
Vamos determinar para quais x a série converge usando o teste da razão (razão entre termos consecutivos). Primeiro identifiquemos o coeficiente do termo x^{n}:
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se e|x|<1, ou seja se
|x|<\frac{1}{e},
e diverge se e|x|>1, ou seja se
|x|>\frac{1}{e}.
Assim o raio de convergência é R=\dfrac{1}{e} e a série converge para todo x em \left(-\dfrac{1}{e},\dfrac{1}{e}\right). Ainda precisamos analisar os dois pontos extremos x=\pm \dfrac{1}{e} separadamente.
Passo 3
Analisemos x=\dfrac{1}{e}. Substituindo na série, o termo geral fica (note que agora todos os termos são não negativos)
Como a série \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} (série p com p=\tfrac{1}{2}\le 1) diverge, e u_n tem comportamento assintótico igual a uma constante vezes 1/\sqrt{n}, segue que a série \sum u_n também diverge por comparação assintótica. Conclusão: em x=\dfrac{1}{e} a série diverge (não converge nem condicionalmente nem absolutamente).
Passo 4
Agora analisaremos x=-\dfrac{1}{e}. O termo geral é
Logo |v_n|\to 0 quando n\to\infty, e além disso |v_n| tem comportamento assintótico como 1/\sqrt{n}, que é uma sequência monotona decrescente para n suficientemente grande. Assim as duas condições do teste de Leibniz (teste da série alternada) são satisfeitas eventualmente:
os termos em módulo tendem a zero;
os módulos são monotonicamente decrescentes a partir de algum N.
Portanto a série \sum v_n converge condicionalmente (não absolutamente, porque \sum |v_n| diverge como mostrado no passo anterior). Conclusão: em x=-\dfrac{1}{e} a série converge.
Passo 5
Juntando tudo:
converge absolutamente para |x|<\dfrac{1}{e};
diverge para x>\dfrac{1}{e} ou x<-\dfrac{1}{e};
no extremo x=\dfrac{1}{e} diverge;
no extremo x=-\dfrac{1}{e} converge (condicionalmente).
Logo o domínio de definição da função f é o intervalo