Questão 9.

Encontre o domínio de definição da função f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!} x^{n}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio de definição da função
f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!} x^{n}.
Informações e observações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A soma é uma série de potências centrada em 0.
  • O termo geral é \displaystyle \frac{n^{n}}{n!}x^{n}.
  • A soma vai de n=0 até +\infty. (Observação: o termo n=0 envolve 0^{0}; em séries de potências é comum adotar 0^{0}=1, então o termo n=0 vale 1.)
  • Precisamos determinar para quais valores de x\in\mathbb{R} essa série converge (ou seja, o conjunto de pontos onde f(x) está definida).

Passo 2

Vamos determinar para quais x a série converge usando o teste da razão (razão entre termos consecutivos). Primeiro identifiquemos o coeficiente do termo x^{n}:
a_n=\frac{n^{n}}{n!}.
O teste da razão diz que, se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{\,n+1}}{a_n x^{\,n}}\right|
existe, então a série converge absolutamente se L<1 e diverge se L>1. Calculemos a razão entre coeficientes:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(n+1)^{\,n+1}/(n+1)!}{n^{n}/n!} =\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)\,n^{n}} =\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Logo a razão com x é
\left|\frac{a_{n+1}x^{\,n+1}}{a_n x^{\,n}}\right| =\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\,|x|.
Tomando limite quando n\to\infty usamos o fato clássico
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}|x|=e|x|.
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se e|x|<1, ou seja se
|x|<\frac{1}{e},
e diverge se e|x|>1, ou seja se
|x|>\frac{1}{e}.
Assim o raio de convergência é R=\dfrac{1}{e} e a série converge para todo x em \left(-\dfrac{1}{e},\dfrac{1}{e}\right). Ainda precisamos analisar os dois pontos extremos x=\pm \dfrac{1}{e} separadamente.

Passo 3

Analisemos x=\dfrac{1}{e}. Substituindo na série, o termo geral fica (note que agora todos os termos são não negativos)
u_n=\frac{n^{n}}{n!}\left(\frac{1}{e}\right)^{n}=\frac{n^{n}}{n!\,e^{n}}.
Para estudar o comportamento de u_n quando n grande usamos a aproximação de Stirling (uma ferramenta padrão para fatoriais grandes):
n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}, \quad\text{quando }n\to\infty.
Explicando rápido o que significa: a_n\sim b_n quer dizer \lim_{n\to\infty}a_n/b_n=1. Aplicando Stirling aqui:
\frac{n^{n}}{n!\,e^{n}} \sim \frac{n^{n}}{\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^{n}\,e^{n}} = \frac{n^{n}}{\sqrt{2\pi n}\,n^{n}\,e^{-n}\,e^{n}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}.
Portanto, para x=\dfrac{1}{e}, temos
u_n\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi n}} \quad\text{quando }n\to\infty.
Como a série \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} (série p com p=\tfrac{1}{2}\le 1) diverge, e u_n tem comportamento assintótico igual a uma constante vezes 1/\sqrt{n}, segue que a série \sum u_n também diverge por comparação assintótica. Conclusão: em x=\dfrac{1}{e} a série diverge (não converge nem condicionalmente nem absolutamente).

Passo 4

Agora analisaremos x=-\dfrac{1}{e}. O termo geral é
v_n=\frac{n^{n}}{n!}\left(-\frac{1}{e}\right)^{n}=(-1)^{n}\frac{n^{n}}{n!\,e^{n}}.
Da mesma aplicação de Stirling obtemos, em módulo,
|v_n|=\frac{n^{n}}{n!\,e^{n}}\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}\quad\text{quando }n\to\infty.
Logo |v_n|\to 0 quando n\to\infty, e além disso |v_n| tem comportamento assintótico como 1/\sqrt{n}, que é uma sequência monotona decrescente para n suficientemente grande. Assim as duas condições do teste de Leibniz (teste da série alternada) são satisfeitas eventualmente:
  1. os termos em módulo tendem a zero;
  2. os módulos são monotonicamente decrescentes a partir de algum N.
Portanto a série \sum v_n converge condicionalmente (não absolutamente, porque \sum |v_n| diverge como mostrado no passo anterior). Conclusão: em x=-\dfrac{1}{e} a série converge.

Passo 5

Juntando tudo:
  • converge absolutamente para |x|<\dfrac{1}{e};
  • diverge para x>\dfrac{1}{e} ou x<-\dfrac{1}{e};
  • no extremo x=\dfrac{1}{e} diverge;
  • no extremo x=-\dfrac{1}{e} converge (condicionalmente).
Logo o domínio de definição da função f é o intervalo
\left[-\frac{1}{e},\;\frac{1}{e}\right).

Resposta

\left[-\dfrac{1}{e},\dfrac{1}{e}\right)

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