Considere o seguinte sinal:
x(t)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leq t<4 \\\ -1, & 4 \leq t<6 \\\ 0, & t<0 \text { ou } t \geq 6\end{array}\right.
Esboce o sinal x_{1}(t)=-x(t).

Passo 1

O enunciado dá o sinal x(t)\) definido por partes e pede para esboçar \(x_{1}(t)=-x(t)\). Informações fornecidas: \[x(t)=\begin{cases} 1, & 0 \le t < 4,\\[4pt] -1, & 4 \le t < 6,\\[4pt] 0, & t<0 \text{ ou } t \ge 6. \end{cases}
Pergunta: Esboçar (ou descrever claramente para desenhar) o sinal (x_{1}(t)=-x(t)].]

Passo 2

O que significa multiplicar por -1: para qualquer valor de t temos x_{1}(t)=-x(t). Isso inverte o sinal da amplitude (reflexão em relação ao eixo horizontal). Exemplos simples para entender:
\text{se }x(t)=1\Rightarrow x_{1}(t)=-1,\qquad \text{se }x(t)=-1\Rightarrow x_{1}(t)=1,\qquad \text{se }x(t)=0\Rightarrow x_{1}(t)=0.
Então basta trocar o sinal das constantes que aparecem em cada intervalo do enunciado.

Passo 3

Aplicando a regra em cada intervalo dado:
  • Para 0 \le t < 4, temos x(t)=1, logo x_{1}(t)=-1.
  • Para 4 \le t < 6, temos x(t)=-1, logo x_{1}(t)=1.
  • Para t<0 ou t\ge 6, temos x(t)=0, logo x_{1}(t)=0.

Passo 4

Devemos observar os pontos de fronteira (valores em t=0,4,6) para saber onde colocar círculos cheios/abertos no esboço:
  • Em t=0: pelo enunciado 0 \le t <4 inclui t=0, então x(0)=1 e x_{1}(0)=-1 (ponto cheio em (0,-1)).
  • Em t=4: o trecho 0\le t<4 não inclui t=4 (aberto à direita), e o trecho 4\le t<6 inclui t=4. Portanto x(4)=-1 e x_{1}(4)=1. No esboço: círculo aberto em t=4 na altura -1 (porque o segmento à esquerda não inclui t=4) e círculo cheio em t=4 na altura 1.
  • Em t=6: o trecho 4\le t<6 não inclui t=6, e o trecho t\ge6 inclui t=6 com valor 0. Assim x_{1}(6)=0 com ponto cheio em (6,0).

Passo 5

Instruções práticas para desenhar o esboço (faça isto no papel, é rápido):
  1. Trace eixos t (horizontal) e x_{1}(t) (vertical). Marque t=0,4,6.
  2. Para t<0: desenhe a linha em x_{1}(t)=0 (eixo) até t=0.
  3. Em t=0: marque ponto cheio em (0,-1).
  4. Para 0<t<4: desenhe uma linha horizontal em x_{1}(t)=-1.
  5. Em t=4: coloque um círculo aberto em (4,-1) e um círculo cheio em (4,1).
  6. Para 4<t<6: desenhe uma linha horizontal em x_{1}(t)=1.
  7. Em t=6: marque ponto cheio em (6,0) e a partir daí desenhe x_{1}(t)=0 para t>6.
Observação final e motivacional: é sempre a mesma ideia — multiplicar por -1 vira tudo de cabeça (no bom sentido). Se você conseguir desenhar retas horizontais e marcar círculos cheios/abertos nas fronteiras, está feito!

Resposta

x_{1}(t)=\begin{cases} -1, & 0 \le t < 4,\\[4pt] 1, & 4 \le t < 6,\\[4pt] 0, & t<0 \text{ ou } t \ge 6. \end{cases}]

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