Considere o seguinte sinal:
x(t)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leq t<4 \\\ -1, & 4 \leq t<6 \\\ 0, & t<0 \text { ou } t \geq 6\end{array}\right.
f) Esboce o sinal x_{5}(t)=x(2 t).

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)= \begin{cases} 1, & 0 \le t < 4,\\\\ -1,& 4 \le t < 6,\\\\ 0, & t<0\\ \text{ou}\\ t\ge6, \end{cases}
e pede para esboçar
x_{5}(t)=x(2t).
O conteúdo é a propriedade de escalonamento de tempo: ao substituir t por 2t, comprimimos o eixo- t numa razão 2:1.

Passo 2

Lembrando a teoria de escalonamento: se x(t) vale certo valor em um intervalo [t_1,t_2), então
x(a\,t)=x(2t)
terá esse mesmo valor sempre que 2t pertencer a [t_1,t_2). Logo os comprimentos de intervalo na variável t ficam divididos por 2.

Passo 3

Aplicando para cada ramo de x(t):
  1. Para x(t)=1 em 0 \le t <4, precisa ter
0 \le 2t < 4 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le t < 2.
  1. Para x(t)=-1 em 4 \le t <6, precisa ter
4 \le 2t < 6 \quad\Longrightarrow\quad 2 \le t < 3.
  1. Para os demais t, o sinal original vale 0, logo
x(2t)=0 \quad\text{se}\quad t<0\\ \text{ou}\\ t\ge3.

Passo 4

Portanto x_{5}(t)=x(2t) é o seguinte sinal em função de t:
– Para t<0, x_{5}(t)=0.
– De t=0 até t=2, x_{5}(t)=1.
– De t=2 até t=3, x_{5}(t)=-1.
– Para t\ge3, x_{5}(t)=0.
Geométricamente, o pulso de altura 1 encolheu de duração 4 para 2, e o pulso de altura -1 encolheu de duração 2 para 1.

Resposta

x_{5}(t)= \begin{cases} 1, & 0 \le t < 2,\\\\ -1, & 2 \le t < 3,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á

Exercícios relacionados