Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{c} 2 x_{1}-3 x_{2}=1 \\\\ 4 x_{1}+x_{2}=-3 \\\\ -x_{1}+2 x_{2}=0 \\\ x_{1}-x_{2}=8 \end{array}\right.
a) Verifique que o sistema não tem solução.
b) Escreva o sistema na forma matricial e identifique a matriz dos coeficientes A, o vetor b das constantes e a matriz completa [A \vdots b].
c) Calcule \operatorname{posto}(A) e \operatorname{posto}([A \vdots b]) e conclua que \operatorname{posto}([A \vdots b])>\operatorname{posto}(A). Em particular, se a_{1} e a_{2} são os vetores-coluna da matriz A, então \left\{a_{1}, a_{2}, b\right\} é L.I. e portanto, b não pode ser escrito como combinação linear de a_{1} e a_{2}. Isso é equivalente ao sistema não ter solução (por que?).

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados (copiei as equações do enunciado). O sistema é
\begin{cases} 2x_{1}-3x_{2}=1,\\[4pt] 4x_{1}+x_{2}=-3,\\[4pt] -x_{1}+2x_{2}=0,\\[4pt] x_{1}-x_{2}=8. \end{cases}
O enunciado pede:
  • (a) verificar que o sistema NÃO tem solução;
  • (b) escrever o sistema na forma matricial e identificar a matriz dos coeficientes A, o vetor de termos constantes b e a matriz aumentada [A\vdots b];
  • (c) calcular \operatorname{posto}(A) e \operatorname{posto}([A\vdots b]), mostrar que \operatorname{posto}([A\vdots b])>\operatorname{posto}(A), e concluir que \{a_{1},a_{2},b\} é linearmente independente (L.I.), logo b não é combinação linear de a_1,a_2 (e por que isso equivale a não existir solução).
As informações relevantes são as quatro equações lineares em duas incógnitas x_1,x_2. Não há outros dados.]

Passo 2

Vou tentar resolver (ou pelo menos verificar consistência) usando as duas primeiras equações porque com duas equações em duas incógnitas podemos encontrar um candidato a [(x_1,x_2)) e então testar nas outras duas. Isso é uma maneira direta e rápida de detectar inconsistência.
Das primeiras duas equações:
\begin{cases} 2x_{1}-3x_{2}=1,\\[4pt] 4x_{1}+x_{2}=-3. \end{cases}
Posso eliminar x_{1}\] multiplicando a primeira por \(-2 e somando com a segunda:
-2(2x_{1}-3x_{2}) + (4x_{1}+x_{2}) = -2\cdot 1 + (-3).
O lado esquerdo fica
-4x_{1}+6x_{2}+4x_{1}+x_{2}=7x_{2},
e o lado direito fica -2-3=-5. Logo
7x_{2}=-5 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=-\dfrac{5}{7}.
Agora uso esse x_{2} em 2x_{1}-3x_{2}=1:
2x_{1}-3\left(-\dfrac{5}{7}\right)=1 \quad\Rightarrow\quad 2x_{1}+\dfrac{15}{7}=1.
Isolando x_{1}:
2x_{1}=1-\dfrac{15}{7}=\dfrac{7-15}{7}=-\dfrac{8}{7}\quad\Rightarrow\quad x_{1}=-\dfrac{4}{7}.
Portanto as duas primeiras equações dão o candidato
\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(-\dfrac{4}{7},-\dfrac{5}{7}\right).]

Passo 3

Agora testo esse par nas outras duas equações:
Equação 3: -x_{1}+2x_{2}=0. Substituindo,
- \left(-\dfrac{4}{7}\right) + 2\left(-\dfrac{5}{7}\right) = \dfrac{4}{7} - \dfrac{10}{7} = -\dfrac{6}{7} \neq 0.
Já é contradição com a equação 3. Para completar, equação 4: x_{1}-x_{2}=8. Substituindo,
-\dfrac{4}{7} -\left(-\dfrac{5}{7}\right) = \dfrac{1}{7} \neq 8.
Ambas as últimas equações não são satisfeitas pelo candidato encontrado. Portanto o sistema é inconsistente: não existe (x_1,x_2) que satisfaça simultaneamente todas as quatro equações. Isso responde o item (a).

Passo 4

Agora escrevo o sistema na forma matricial e identifico A, b e [A\vdots b]. A forma matricial é \;A x = b\; com x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}. A matriz dos coeficientes e o vetor de constantes são:
A=\begin{pmatrix} 2 & -3\\[4pt] 4 & 1\\[4pt] -1 & 2\\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix} 1\\[4pt] -3\\[4pt] 0\\[4pt] 8 \end{pmatrix}.
A matriz aumentada é
[A\vdots b]=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1\\[4pt] 4 & 1 & -3\\[4pt] -1 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 8 \end{pmatrix}.
Também chamo as colunas de A de a_{1} e a_{2}:
a_{1}=\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\qquad a_{2}=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Mini-aula sobre posto e solvabilidade (curtinha, para fixar). O posto (rank) de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes (ou o número máximo de linhas LI). Para o sistema Ax=b existem soluções se, e só se, o vetor b pertence ao espaço gerado pelas colunas de A (às combinações lineares de a_1,a_2). Em termos de posto: existe solução iff
\operatorname{posto}(A)=\operatorname{posto}([A\vdots b]).
Se adicionar b às colunas aumenta o posto, então b não está no span das colunas de A e não há solução.

Passo 6

Cálculo de \operatorname{posto}(A). A matriz A tem 2 colunas; o posto máximo é 2. Basta mostrar que as duas colunas são linearmente independentes. Uma forma prática: encontrar um menor 2\times2 com determinante não nulo (qualquer par de linhas que formem submatriz 2\times2 com det \neq 0 garante que as colunas são LI).
Escolho as duas primeiras linhas de A, a submatriz
\begin{pmatrix} 2 & -3\\[4pt] 4 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante é
\det\begin{pmatrix}2 & -3\\\ 4 & 1\end{pmatrix}=2\cdot 1 - 4\cdot(-3)=2+12=14\neq 0.
Como existe esse menor 2\times2 de determinante não nulo, as duas colunas de A são LI e portanto
\operatorname{posto}(A)=2.]

Passo 7

Cálculo de \operatorname{posto}([A\vdots b]). A matriz aumentada tem três colunas (a_1,a_2,b). O posto máximo possível é \min(4,3)=3. Se eu mostrar que as três colunas são LI (ou que existe um menor 3\times3 com determinante não nulo), então \operatorname{posto}([A\vdots b])=3.
Escolho as linhas 1,2,4 e formo a submatriz 3\times3 com colunas a_1,a_2,b:
M=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1\\[4pt] 4 & 1 & -3\\[4pt] 1 & -1 & 8 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante de M. Usando expansão pela primeira linha (ou qualquer método):
\begin{aligned} \det(M) &= 2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]-1 & 8\end{pmatrix} -(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}4 & -3\\[4pt]1 & 8\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\\[6pt] &= 2\big(1\cdot 8 - (-3)\cdot(-1)\big) + 3\big(4\cdot 8 - (-3)\cdot 1\big) + 1\big(4\cdot(-1)-1\cdot 1\big)\\[4pt] &= 2(8-3) + 3(32+3) + ( -4 -1)\\[4pt] &= 2\cdot 5 + 3\cdot 35 -5 = 10 +105 -5 =110\neq 0. \end{aligned}
Como \det(M)\neq 0, as três colunas a_{1},a_{2},b são linearmente independentes e então
\operatorname{posto}([A\vdots b])=3.]

Passo 8

Conclusão final do item (c) e interpretação: temos
\operatorname{posto}(A)=2,\qquad \operatorname{posto}([A\vdots b])=3,
portanto \operatorname{posto}([A\vdots b])>\operatorname{posto}(A). Isso significa que ao acrescentar b às colunas de A obtemos uma nova coluna que não é combinação linear das colunas originais; em outras palavras, \{a_{1},a_{2},b\} é linearmente independente e b\notin\operatorname{span}\{a_1,a_2\}. Como resolver Ax=b é exatamente encontrar coeficientes (as componentes de x) que escrevem b como combinação linear das colunas de A, a impossibilidade de expressar b dessa forma é equivalente a dizer que o sistema não tem solução. (Isto fecha a resposta ao último questionamento do enunciado.)

Resposta

(a) O sistema não tem solução.
(b) A=\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]4 & 1\\[4pt]-1 & 2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]0\\[4pt]8\end{pmatrix},\quad [A\vdots b]=\begin{pmatrix}2 & -3 & 1\\[4pt]4 & 1 & -3\\[4pt]-1 & 2 & 0\\[4pt]1 & -1 & 8\end{pmatrix}.
(c) \operatorname{posto}(A)=2,\quad \operatorname{posto}([A\vdots b])=3, logo \operatorname{posto}([A\vdots b])>\operatorname{posto}(A). Assim \{a_{1},a_{2},b\} é L.I., b não é combinação linear de a_{1},a_{2}, e portanto o sistema Ax=b não tem solução.]

Exercícios relacionados