a) Verifique que o sistema não tem solução.
b) Escreva o sistema na forma matricial e identifique a matriz dos coeficientes A, o vetor b das constantes e a matriz completa [A \vdots b].
c) Calcule \operatorname{posto}(A) e \operatorname{posto}([A \vdots b]) e conclua que \operatorname{posto}([A \vdots b])>\operatorname{posto}(A). Em particular, se a_{1} e a_{2} são os vetores-coluna da matriz A, então \left\{a_{1}, a_{2}, b\right\} é L.I. e portanto, b não pode ser escrito como combinação linear de a_{1} e a_{2}. Isso é equivalente ao sistema não ter solução (por que?).
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados (copiei as equações do enunciado). O sistema é
(b) escrever o sistema na forma matricial e identificar a matriz dos coeficientes A, o vetor de termos constantes b e a matriz aumentada [A\vdots b];
(c) calcular \operatorname{posto}(A) e \operatorname{posto}([A\vdots b]), mostrar que \operatorname{posto}([A\vdots b])>\operatorname{posto}(A), e concluir que \{a_{1},a_{2},b\} é linearmente independente (L.I.), logo b não é combinação linear de a_1,a_2 (e por que isso equivale a não existir solução).
As informações relevantes são as quatro equações lineares em duas incógnitas x_1,x_2. Não há outros dados.]
Passo 2
Vou tentar resolver (ou pelo menos verificar consistência) usando as duas primeiras equações porque com duas equações em duas incógnitas podemos encontrar um candidato a [(x_1,x_2)) e então testar nas outras duas. Isso é uma maneira direta e rápida de detectar inconsistência.
Ambas as últimas equações não são satisfeitas pelo candidato encontrado. Portanto o sistema é inconsistente: não existe (x_1,x_2) que satisfaça simultaneamente todas as quatro equações. Isso responde o item (a).
Passo 4
Agora escrevo o sistema na forma matricial e identifico A, b e [A\vdots b]. A forma matricial é \;A x = b\; com x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}. A matriz dos coeficientes e o vetor de constantes são:
Mini-aula sobre posto e solvabilidade (curtinha, para fixar). O posto (rank) de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes (ou o número máximo de linhas LI). Para o sistema Ax=b existem soluções se, e só se, o vetor b pertence ao espaço gerado pelas colunas de A (às combinações lineares de a_1,a_2). Em termos de posto: existe solução iff
Se adicionar b às colunas aumenta o posto, então b não está no span das colunas de A e não há solução.
Passo 6
Cálculo de \operatorname{posto}(A). A matriz A tem 2 colunas; o posto máximo é 2. Basta mostrar que as duas colunas são linearmente independentes. Uma forma prática: encontrar um menor 2\times2 com determinante não nulo (qualquer par de linhas que formem submatriz 2\times2 com det \neq 0 garante que as colunas são LI).
Escolho as duas primeiras linhas de A, a submatriz
Como existe esse menor 2\times2 de determinante não nulo, as duas colunas de A são LI e portanto
\operatorname{posto}(A)=2.]
Passo 7
Cálculo de \operatorname{posto}([A\vdots b]). A matriz aumentada tem três colunas (a_1,a_2,b). O posto máximo possível é \min(4,3)=3. Se eu mostrar que as três colunas são LI (ou que existe um menor 3\times3 com determinante não nulo), então \operatorname{posto}([A\vdots b])=3.
Escolho as linhas 1,2,4 e formo a submatriz 3\times3 com colunas a_1,a_2,b:
portanto \operatorname{posto}([A\vdots b])>\operatorname{posto}(A). Isso significa que ao acrescentar b às colunas de A obtemos uma nova coluna que não é combinação linear das colunas originais; em outras palavras, \{a_{1},a_{2},b\} é linearmente independente e b\notin\operatorname{span}\{a_1,a_2\}. Como resolver Ax=b é exatamente encontrar coeficientes (as componentes de x) que escrevem b como combinação linear das colunas de A, a impossibilidade de expressar b dessa forma é equivalente a dizer que o sistema não tem solução. (Isto fecha a resposta ao último questionamento do enunciado.)
(c) \operatorname{posto}(A)=2,\quad \operatorname{posto}([A\vdots b])=3, logo \operatorname{posto}([A\vdots b])>\operatorname{posto}(A). Assim \{a_{1},a_{2},b\} é L.I., b não é combinação linear de a_{1},a_{2}, e portanto o sistema Ax=b não tem solução.]