Determine todas as possíveis bases B para cada um dos sistemas abaixo. Em seguida, para cada base B encontrada, identifique as variáveis básicas x_{B}, a matriz não básica N, as váriaveis não básicas x_{N} correspondentes e escreva a solução geral e solução básica do sistema.
\left\{\begin{aligned} x_{1}-2 x_{2} & \leq 2 \\\\ 4 x_{1}+2 x_{2} & \leq 4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de desigualdades
\begin{cases} x_{1}-2x_{2}\le 2,\\[4pt] 4x_{1}+2x_{2}\le 4, \end{cases}
e pede: determinar todas as possíveis bases [B) (no sentido de base de um sistema em forma padrão), e para cada base obter as variáveis básicas x_{B}, a matriz não básica N, as variáveis não básicas x_{N}, a solução geral (em função de x_{N}) e a solução básica (obtida ao anular x_{N}).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • São duas restrições (então uma base terá m=2 variáveis básicas).
  • As desigualdades são do tipo `` \le’’; portanto, na forma padrão introduzimos variáveis folga (slack) s_{1},s_{2}\ge 0 para transformar em igualdades:
\begin{cases} x_{1}-2x_{2}+s_{1}=2,\\[4pt] 4x_{1}+2x_{2}+s_{2}=4. \end{cases}
  • Todas as variáveis serão assumidas não-negativas: x_{1},x_{2},s_{1},s_{2}\ge 0\]. - Montamos a matriz dos coeficientes \(A e o vetor b. Peguei os coeficientes das equações acima:
A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 2 & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix},
com colunas (ordem das variáveis (x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})):
\text{col}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix},\; \text{col}_2=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\end{pmatrix},\; \text{col}_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\; \text{col}_4=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A resolução efetiva começa nos próximos passos.]

Passo 2

Breve explicação do método (passo-a-passo didático, sem pular etapas):
  1. Definição de base: para o sistema A x=b com A\in\mathbb{R}^{m\times n} e m=2, uma base é uma escolha de m colunas de A (ou seja, um subconjunto de 2 variáveis) cujas colunas formam uma matriz inversível B. As variáveis correspondentes a essas colunas são as variáveis básicas x_{B}. As restantes são as variáveis não básicas x_{N}.
  2. Particionamento: escrevemos A=[\,B\;N\,] e x=\begin{pmatrix}x_{B}\\[2pt]x_{N}\end{pmatrix}. A equação Ax=b fica
B x_{B} + N x_{N} = b.
  1. Solução geral relativa a essa base: como B é invertível,
x_{B} = B^{-1} b - B^{-1} N\, x_{N}.
Aqui x_{N} serve de parâmetro (variáveis livres). A solução básica associada à base é obtida escolhendo x_{N}=0, o que dá
x_{B} = B^{-1} b.
  1. Observação sobre viabilidade: a solução básica é factível (ou seja, uma solução básica viável) se e somente se todos os componentes de x_{B}=B^{-1}b forem não-negativos.
Nos próximos passos aplicamos o procedimento acima a todas as escolhas possíveis de 2 colunas entre as 4 colunas disponíveis (há \binom{4}{2}=6 escolhas). Para cada escolha calculei B^{-1}, x_{B}=B^{-1}b, N, x_{N} e a forma geral x_{B}=B^{-1}b - B^{-1}N x_{N}, além da solução básica.]

Passo 3

Base 1: B=\{\;x_{1},x_{2}\;\}.
  • Matriz B (colunas 1 e 2):
B=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix},\qquad \det(B)=10.
  • Inversa:
B^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix}.
  • Vetor básico x_{B}=B^{-1}b:
x_{B}=B^{-1}b=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6/5\\[4pt]-2/5\end{pmatrix}.
  • Matrizes/variáveis não-básicas: N=[\text{col}_3\\ \text{col}_4]=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, x_{N}=(s_{1},s_{2})^{T}.
  • Produto B^{-1}N (usado na solução geral) é igual a B^{-1}.
  • Solução geral (expressando x_{1},x_{2} em função de s_{1},s_{2}):
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6/5\\[4pt]-2/5\end{pmatrix} -\frac{1}{10}\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_{1}\\[4pt]s_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{5}s_{1}-\dfrac{1}{5}s_{2}\\[8pt] -\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}s_{1}-\dfrac{1}{10}s_{2} \end{pmatrix}.
  • Solução básica associada (tomando s_{1}=s_{2}=0):
(x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=(6/5,\,-2/5,\,0,\,0).
(essa solução básica NÃO é viável porque x_{2}=-2/5<0.)]

Passo 4

Base 2: B=\{\;x_{1},s_{1}\;\} (colunas 1 e 3).
  • Matriz B:
B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & 0\end{pmatrix},\qquad \det(B)=-4.
  • Inversa:
B^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 1/4\\[4pt]1 & -1/4\end{pmatrix}.
  • Vetor básico:
x_{B}=B^{-1}b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
ou seja x_{1}=1,\\ s_{1}=1.
  • Não-básicas: N=[\text{col}_2\\ \text{col}_4]=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}, x_{N}=(x_{2},s_{2})^{T}.
  • Produto B^{-1}N=\begin{pmatrix}1/2 & 1/4\\[4pt]-5/2 & -1/4\end{pmatrix}.
  • Solução geral:
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]s_{1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1/2 & 1/4\\[4pt]-5/2 & -1/4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{2}\\[4pt]s_{2}\end{pmatrix},
isto é
x_{1}=1-\tfrac{1}{2}x_{2}-\tfrac{1}{4}s_{2},\qquad s_{1}=1+\tfrac{5}{2}x_{2}+\tfrac{1}{4}s_{2}.
  • Solução básica ( x_{2}=s_{2}=0):
(x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=(1,\,0,\,1,\,0).
(essa solução básica é viável: todos os componentes são \ge 0.)]

Passo 5

Base 3: B=\{\;x_{1},s_{2}\;\} (colunas 1 e 4).
  • Matriz B:
B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix},\qquad \det(B)=1.
  • Inversa:
B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix}.
  • Vetor básico:
x_{B}=B^{-1}b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-4\end{pmatrix},
ou seja x_{1}=2,\\ s_{2}=-4.
  • Não-básicas: N=[\text{col}_2\\ \text{col}_3]=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}, x_{N}=(x_{2},s_{1})^{T}.
  • Produto B^{-1}N=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]10 & -4\end{pmatrix}.
  • Solução geral:
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]s_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]-4\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]10 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{2}\\[4pt]s_{1}\end{pmatrix},
isto é
x_{1}=2+2x_{2}-s_{1},\qquad s_{2}=-4-10x_{2}+4s_{1}.
  • Solução básica ( x_{2}=s_{1}=0):
(x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=(2,\,0,\,0,\,-4).
(essa solução básica NÃO é viável porque s_{2}=-4<0.)]

Passo 6

Base 4: B=\{\;x_{2},s_{1}\;\} (colunas 2 e 3).
  • Matriz B:
B=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix},\qquad \det(B)=-2.
  • Inversa:
B^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 1/2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
  • Vetor básico:
x_{B}=B^{-1}b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]6\end{pmatrix},
ou seja x_{2}=2,\\ s_{1}=6.
  • Não-básicas: N=[\text{col}_1\\ \text{col}_4]=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}, x_{N}=(x_{1},s_{2})^{T}.
  • Produto B^{-1}N=\begin{pmatrix}2 & 1/2\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix}.
  • Solução geral:
\begin{pmatrix}x_{2}\\[4pt]s_{1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]6\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2 & 1/2\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]s_{2}\end{pmatrix},
isto é
x_{2}=2-2x_{1}-\tfrac{1}{2}s_{2},\qquad s_{1}=6-5x_{1}-s_{2}.
  • Solução básica ( x_{1}=s_{2}=0):
(x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=(0,\,2,\,6,\,0).
(essa solução básica é viável.)]

Passo 7

Base 5: B=\{\;x_{2},s_{2}\;\} (colunas 2 e 4).
  • Matriz B:
B=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix},\qquad \det(B)=-2.
  • Inversa:
B^{-1}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
  • Vetor básico:
x_{B}=B^{-1}b=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]6\end{pmatrix},
ou seja x_{2}=-1,\\ s_{2}=6.
  • Não-básicas: N=[\text{col}_1\\ \text{col}_3]=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & 0\end{pmatrix}, x_{N}=(x_{1},s_{1})^{T}.
  • Produto B^{-1}N=\begin{pmatrix}-1/2 & -1/2\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix}.
  • Solução geral:
\begin{pmatrix}x_{2}\\[4pt]s_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]6\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]s_{1}\end{pmatrix},
isto é
x_{2}=-1+\tfrac{1}{2}x_{1}+\tfrac{1}{2}s_{1},\qquad s_{2}=6-5x_{1}-s_{1}.
  • Solução básica ( x_{1}=s_{1}=0):
(x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=(0,\,-1,\,0,\,6).
(essa solução básica NÃO é viável porque x_{2}=-1<0.)]

Passo 8

Base 6: B=\{\;s_{1},s_{2}\;\} (colunas 3 e 4).
  • Matriz B:
B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I_{2}.
  • Inversa: B^{-1}=I_{2}.
  • Vetor básico:
x_{B}=B^{-1}b=b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix},
ou seja s_{1}=2,\\ s_{2}=4.
  • Não-básicas: N=[\text{col}_1\\ \text{col}_2]=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}, x_{N}=(x_{1},x_{2})^{T}.
  • Solução geral:
\begin{pmatrix}s_{1}\\[4pt]s_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix},
isto é
s_{1}=2-x_{1}+2x_{2},\qquad s_{2}=4-4x_{1}-2x_{2}.
  • Solução básica ( x_{1}=x_{2}=0):
(x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=(0,\,0,\,2,\,4).
(essa solução básica é viável.)]

Resposta

B = {x_{1},x_{2}}:
x_{B}= \begin{pmatrix}6/5\\[4pt]-2/5\end{pmatrix}, ;
N=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} (variáveis s_{1},s_{2}),
Solução geral: x_{1}=\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{5}s_{1}-\dfrac{1}{5}s_{2},\; x_{2}=-\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}s_{1}-\dfrac{1}{10}s_{2}.
Solução básica: (x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=(6/5,\,-2/5,\,0,\,0) (não viável).
B = {x_{1},s_{1}}:
x_{B}= \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, ;
N=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} (variáveis x_{2},s_{2}),
Solução geral: x_{1}=1-\tfrac{1}{2}x_{2}-\tfrac{1}{4}s_{2},\; s_{1}=1+\tfrac{5}{2}x_{2}+\tfrac{1}{4}s_{2}.
Solução básica: (x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=(1,\,0,\,1,\,0) (viável).
B = {x_{1},s_{2}}:
x_{B}= \begin{pmatrix}2\\[4pt]-4\end{pmatrix}, ;
N=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix} (variáveis x_{2},s_{1}),
Solução geral: x_{1}=2+2x_{2}-s_{1},\; s_{2}=-4-10x_{2}+4s_{1}.
Solução básica: (x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=(2,\,0,\,0,\,-4) (não viável).
B = {x_{2},s_{1}}:
x_{B}= \begin{pmatrix}2\\[4pt]6\end{pmatrix}, ;
N=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix} (variáveis x_{1},s_{2}),
Solução geral: x_{2}=2-2x_{1}-\tfrac{1}{2}s_{2},\; s_{1}=6-5x_{1}-s_{2}.
Solução básica: (x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=(0,\,2,\,6,\,0) (viável).
B = {x_{2},s_{2}}:
x_{B}= \begin{pmatrix}-1\\[4pt]6\end{pmatrix}, ;
N=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & 0\end{pmatrix} (variáveis x_{1},s_{1}),
Solução geral: x_{2}=-1+\tfrac{1}{2}x_{1}+\tfrac{1}{2}s_{1},\; s_{2}=6-5x_{1}-s_{1}.
Solução básica: (x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=(0,\,-1,\,0,\,6) (não viável).
B = {s_{1},s_{2}}:
x_{B}= \begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}, ;
N=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix} (variáveis x_{1},x_{2}),
Solução geral: s_{1}=2-x_{1}+2x_{2},\; s_{2}=4-4x_{1}-2x_{2}.
Solução básica: (x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=(0,\,0,\,2,\,4) (viável).]

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