Determine todas as possíveis bases B para cada um dos sistemas abaixo. Em seguida, para cada base B encontrada, identifique as variáveis básicas x_{B}, a matriz não básica N, as váriaveis não básicas x_{N} correspondentes e escreva a solução geral e solução básica do sistema. \left\{\begin{aligned} x_{1}-2 x_{2} & \leq 2 \\\\ 4 x_{1}+2 x_{2} & \leq 4\end{aligned}\right.
e pede: determinar todas as possíveis bases [B) (no sentido de base de um sistema em forma padrão), e para cada base obter as variáveis básicas x_{B}, a matriz não básica N, as variáveis não básicas x_{N}, a solução geral (em função de x_{N}) e a solução básica (obtida ao anular x_{N}).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
São duas restrições (então uma base terá m=2 variáveis básicas).
As desigualdades são do tipo ``\le’’; portanto, na forma padrão introduzimos variáveis folga (slack) s_{1},s_{2}\ge 0 para transformar em igualdades:
Todas as variáveis serão assumidas não-negativas: x_{1},x_{2},s_{1},s_{2}\ge 0\].
- Montamos a matriz dos coeficientes \(A e o vetor b. Peguei os coeficientes das equações acima:
Breve explicação do método (passo-a-passo didático, sem pular etapas):
Definição de base: para o sistema A x=b com A\in\mathbb{R}^{m\times n} e m=2, uma base é uma escolha de m colunas de A (ou seja, um subconjunto de 2 variáveis) cujas colunas formam uma matriz inversível B. As variáveis correspondentes a essas colunas são as variáveis básicas x_{B}. As restantes são as variáveis não básicas x_{N}.
Particionamento: escrevemos A=[\,B\;N\,] e x=\begin{pmatrix}x_{B}\\[2pt]x_{N}\end{pmatrix}. A equação Ax=b fica
B x_{B} + N x_{N} = b.
Solução geral relativa a essa base: como B é invertível,
x_{B} = B^{-1} b - B^{-1} N\, x_{N}.
Aqui x_{N} serve de parâmetro (variáveis livres). A solução básica associada à base é obtida escolhendo x_{N}=0, o que dá
x_{B} = B^{-1} b.
Observação sobre viabilidade: a solução básica é factível (ou seja, uma solução básica viável) se e somente se todos os componentes de x_{B}=B^{-1}b forem não-negativos.
Nos próximos passos aplicamos o procedimento acima a todas as escolhas possíveis de 2 colunas entre as 4 colunas disponíveis (há \binom{4}{2}=6 escolhas). Para cada escolha calculei B^{-1}, x_{B}=B^{-1}b, N, x_{N} e a forma geral x_{B}=B^{-1}b - B^{-1}N x_{N}, além da solução básica.]