O enunciado dá o sistema de duas equações lineares e pede que a gente o resolva (ou seja, encontre x\) e \(y\), possivelmente em função do parâmetro \(k\)). As informações fornecidas são:
\[\begin{cases} x+2y=4,\\[4pt] 2+k y=8. \end{cases}
Não há outras informações externas — então devemos tratar (k] como um parâmetro e analisar os diferentes casos que ele pode gerar.]
Passo 2
Vamos olhar para a segunda equação isoladamente: 2+k y=8. Isso é uma equação linear em y. Para resolver uma equação linear do tipo a+ b y = c a técnica é isolar y: subtrair a dos dois lados e depois dividir por b, desde que b\neq 0. Aplicando aqui:
subtraindo 2 dos dois lados obtemos k y=6.
Agora devemos considerar se k é zero ou não, porque dividir por k só é permitido quando k\neq 0.
Passo 3
Caso k\neq 0: dividimos por k e temos
y=\frac{6}{k}.
Explicando com calma: a operação "dividir os dois lados por k" é permitida porque mantém a igualdade e transforma k y em y. Sempre cheque se o divisor pode ser zero antes de dividir — por isso o caso k=0 é separado.
Passo 4
Agora que temos y=\dfrac{6}{k} (para k\neq 0), substituímos na primeira equação x+2y=4. Fazendo a substituição:
x+2\cdot\frac{6}{k}=4.
Calcule o produto 2\cdot\frac{6}{k}=\frac{12}{k}. Assim a equação vira
x+\frac{12}{k}=4.
Isolando x (subtraindo \dfrac{12}{k} de ambos os lados),
x=4-\frac{12}{k}.
Passo 5
Podemos escrever x de forma com denominador comum se preferir:
x=\frac{4k-12}{k}=\frac{4(k-3)}{k},
para k\neq 0. Então, quando k\neq 0, o sistema tem solução única
Comentário didático: faz sentido que a solução seja única porque a segunda equação, para k\neq 0, fixa um valor concreto de y; com y conhecido, a primeira equação fixa x.
Passo 6
Caso k=0: a segunda equação fica 2+0\cdot y=8, ou seja 2=8. Isso é uma contradição (uma igualdade falsa), então não existe y que satisfaça a segunda equação. Logo, quando k=0 o sistema é impossível (não tem solução).
Não há nenhum valor de k que torne as duas equações equivalentes (o que daria infinitas soluções), porque a segunda equação, quando válida, fixa y num único valor.
Passo 7
Vamos testar um exemplo numérico para ganhar confiança: tome k=2. Pelas fórmulas,
y=\frac{6}{2}=3,\qquad x=4-\frac{12}{2}=4-6=-2.
Verificação rápida: x+2y=-2+2\cdot3=4 e 2+k y=2+2\cdot3=8. Ok — funciona.
Resposta
Para k\neq 0: \displaystyle (x,y)=\left(\frac{4(k-3)}{k},\;\frac{6}{k}\right).
Para k=0: não há solução.