Questão 1 [ 3,0 pontos] Seja A, B e C pontos tais que \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=(8,2) e \overrightarrow{B C}=(2,2). Use essas informações para responder as seguintes questões.
(a) [ \mathbf{1 , 0} ponto] Determine as coordenadas dos vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
(b) [ \mathbf{1 , 0} ponto] Determine a área do triângulo A B C.
(c) [\mathbf{1 , 0} ponto ] Determine a projeção ortogonal do vetor \overrightarrow{A B} sobre a reta que passa pelos pontos A e C.
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=(8,2).
\overrightarrow{B C}=(2,2).
Perguntas:
(a) Determine as coordenadas de \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
(b) Determine a área do triângulo A B C.
(c) Determine a projeção ortogonal de \overrightarrow{A B} sobre a reta que passa por A e C.
Passo 2
Montar e resolver o sistema vetorial usando relações entre vetores posicionais.
Explicação didática rápida: para quaisquer pontos A,B,C\) vale
\[\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B},
pois ir de B a C é o mesmo que ir de B a A e depois de A a C; em vetores isso dá a subtração indicada.
Somando as duas equações componente a componente elimina (\overrightarrow{A B}]: 2\,\overrightarrow{A C}=(8,2)+(2,2)=(10,4).
Logo \overrightarrow{A C}=\frac{1}{2}(10,4)=(5,2).
Substituindo de volta para achar \overrightarrow{A B}:
Passo-a-passo das contas foi só soma e subtração de pares de coordenadas.]
Passo 3
Calcular a área do triângulo A B C.
Conceito e fórmula: a área do triângulo formado por dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} que saem do mesmo ponto é metade da área do paralelogramo formado por eles. A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante
Verificação rápida (opcional, para confiança): o vetor \overrightarrow{A B}-\operatorname{proj}_{\overrightarrow{A C}}(\overrightarrow{A B}) deve ser ortogonal a \overrightarrow{A C}. Calculando o produto escalar dá zero, confirmando que a projeção está correta.
Resposta
\overrightarrow{A B}=(3,0),\\ \overrightarrow{A C}=(5,2) \text{Área}(A B C)=3Á \operatorname{proj}_{AC}\big(\overrightarrow{A B}\big)=\left(\dfrac{75}{29},\dfrac{30}{29}\right)