Questão 1 [ 3,0 pontos] Seja A, B e C pontos tais que \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=(8,2) e \overrightarrow{B C}=(2,2). Use essas informações para responder as seguintes questões.
(a) [ \mathbf{1 , 0} ponto] Determine as coordenadas dos vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
(b) [ \mathbf{1 , 0} ponto] Determine a área do triângulo A B C.
(c) [\mathbf{1 , 0} ponto ] Determine a projeção ortogonal do vetor \overrightarrow{A B} sobre a reta que passa pelos pontos A e C.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=(8,2).
    • \overrightarrow{B C}=(2,2).
  • Perguntas:
    • (a) Determine as coordenadas de \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
    • (b) Determine a área do triângulo A B C.
    • (c) Determine a projeção ortogonal de \overrightarrow{A B} sobre a reta que passa por A e C.

Passo 2

Montar e resolver o sistema vetorial usando relações entre vetores posicionais.
Explicação didática rápida: para quaisquer pontos A,B,C\) vale \[\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B},
pois ir de B a C é o mesmo que ir de B a A e depois de A a C; em vetores isso dá a subtração indicada.
Temos então o sistema de vetores
\begin{cases} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=(8,2),\\[4pt] \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=(2,2). \end{cases}
Somando as duas equações componente a componente elimina (\overrightarrow{A B}]:
2\,\overrightarrow{A C}=(8,2)+(2,2)=(10,4).
Logo
\overrightarrow{A C}=\frac{1}{2}(10,4)=(5,2).
Substituindo de volta para achar \overrightarrow{A B}:
\overrightarrow{A B}=(8,2)-\overrightarrow{A C}=(8,2)-(5,2)=(3,0).
Passo-a-passo das contas foi só soma e subtração de pares de coordenadas.]

Passo 3

Calcular a área do triângulo A B C.
Conceito e fórmula: a área do triângulo formado por dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} que saem do mesmo ponto é metade da área do paralelogramo formado por eles. A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante
\det\begin{pmatrix}u_x & v_x\\[4pt] u_y & v_y\end{pmatrix}=u_x v_y-u_y v_x.
Portanto
\text{Área}(ABC)=\frac{1}{2}\left|\det\big(\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A C}\big)\right|.Á
Aplicando com \overrightarrow{A B}=(3,0) e \overrightarrow{A C}=(5,2):
\det\big(\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A C}\big)=3\cdot 2-0\cdot 5=6.
Logo
\text{Área}(ABC)=\frac{1}{2}\cdot |6|=3.Á]

Passo 4

Calcular a projeção ortogonal de \overrightarrow{A B} sobre a reta A C.
Conceito e fórmula: a projeção ortogonal do vetor \mathbf{u} sobre o vetor \mathbf{v} (que define a direção da reta) é
\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u})=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\,\mathbf{v},
onde \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto interno (ou escalar)
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x v_x+u_y v_y.
Isso dá o vetor ao longo de \mathbf{v} que representa a componente de \mathbf{u} nessa direção.
Calcular os componentes:
\overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{A C}= (3,0)\cdot(5,2)=3\cdot 5+0\cdot 2=15,
\overrightarrow{A C}\cdot\overrightarrow{A C}=5^2+2^2=25+4=29.
Portanto o fator escalar é \dfrac{15}{29} e
\operatorname{proj}_{\overrightarrow{A C}}\big(\overrightarrow{A B}\big)=\frac{15}{29}\,\overrightarrow{A C}=\frac{15}{29}(5,2)=\left(\frac{75}{29},\frac{30}{29}\right).
Verificação rápida (opcional, para confiança): o vetor \overrightarrow{A B}-\operatorname{proj}_{\overrightarrow{A C}}(\overrightarrow{A B}) deve ser ortogonal a \overrightarrow{A C}. Calculando o produto escalar dá zero, confirmando que a projeção está correta.

Resposta

\overrightarrow{A B}=(3,0),\\ \overrightarrow{A C}=(5,2)
\text{Área}(A B C)=3Á
\operatorname{proj}_{AC}\big(\overrightarrow{A B}\big)=\left(\dfrac{75}{29},\dfrac{30}{29}\right)

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