Questão 31. Sabendo que os vetores vec{u}, \vec{v} e vec{w} são dois a dois ortogonais, mostre que
| \vec{u}+\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}

Passo 1

O enunciado dá que os vetores \vec{u},\vec{v} e \vec{w} são dois a dois ortogonais. Ou seja, cada par de vetores tem produto escalar zero. A pergunta concreta é mostrar que
|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}.
Observação: a presença de \vec{w} no enunciado não é necessária para essa igualdade; basta usar que \vec{u} e \vec{v} são ortogonais.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa produto escalar (ou produto interno) e norma. Para dois vetores \vec{a} e \vec{b} em \mathbb{R}^n o produto escalar é definido por
\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{i=1}^{n} a_i b_i,
onde a_i e b_i são as componentes de \vec{a} e \vec{b}. A norma (ou comprimento) de \vec{a} é dada por
|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}.
Portanto é sempre verdade que
|\vec{a}|^{2}=\vec{a}\cdot\vec{a}.

Passo 3

Outra propriedade importante do produto escalar que usaremos é a bilinearidade e a simetria:
  • Bilinearidade: (\vec{x}+\vec{y})\cdot\vec{z}=\vec{x}\cdot\vec{z}+\vec{y}\cdot\vec{z} e \lambda(\vec{x}\cdot\vec{y})=(\lambda\vec{x})\cdot\vec{y} para escalar \lambda.
  • Simetria: \vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{y}\cdot\vec{x}.
Essas propriedades nos permitem expandir produtos escalares envolvendo somas.

Passo 4

Calculemos |\vec{u}+\vec{v}|^{2} usando a definição de norma em termos do produto escalar:
|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}).
Agora aplicamos bilinearidade para expandir:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = \vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}.

Passo 5

Usando a simetria do produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u} e o fato dado que \vec{u} e \vec{v} são ortogonais (ou seja, \vec{u}\cdot\vec{v}=0), os termos mistos somam zero:
\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}=0+0=0.

Passo 6

Substituindo isso na expansão do Passo 4 obtemos
|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}.
Pelo Passo 2, \vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^{2} e \vec{v}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|^{2}. Portanto
|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}.

Resposta

|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}

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