Questão 31. Sabendo que os vetores
e
são dois a dois ortogonais, mostre que
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Passo 1
O enunciado dá que os vetores
e
são dois a dois ortogonais. Ou seja, cada par de vetores tem produto escalar zero. A pergunta concreta é mostrar que
Observação: a presença de
no enunciado não é necessária para essa igualdade; basta usar que
e
são ortogonais.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa produto escalar (ou produto interno) e norma. Para dois vetores
e
em
o produto escalar é definido por
onde
e
são as componentes de
e
. A norma (ou comprimento) de
é dada por
Portanto é sempre verdade que
Passo 3
Outra propriedade importante do produto escalar que usaremos é a bilinearidade e a simetria:
- Bilinearidade:
e para escalar . - Simetria:
.
Essas propriedades nos permitem expandir produtos escalares envolvendo somas.
Passo 4
Calculemos
usando a definição de norma em termos do produto escalar:
Agora aplicamos bilinearidade para expandir:
Passo 5
Usando a simetria do produto escalar
e o fato dado que
e
são ortogonais (ou seja,
), os termos mistos somam zero:
Passo 6
Substituindo isso na expansão do Passo 4 obtemos
Pelo Passo 2,
e
. Portanto