Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 0 \\\\ -4 & 1 & 8 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 4 \\\\ -3 \end{array}\right]
Resolva o sistema dado usando o método de decomposição LU.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A x = b com
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 3 & 0\\[4pt] -4 & 1 & 8 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]4\\[4pt]-3\end{pmatrix},
e pede que se resolva o sistema usando a decomposição LU. Vou usar a decomposição do tipo Doolittle (matriz L com diagonal igual a 1 e U triangular superior). A solução será obtida em duas fases: (i) fatorar A=L U; (ii) resolver L y=b por substituição direta e depois U x=y por substituição regressiva.]

Passo 2

O que é a decomposição LU (breve e prática):
  • Procuramos matrizes L e U tais que
A = L U,
onde L é triangular inferior com 1 na diagonal e U é triangular superior. Para uma matriz 3\times3 escrevemos
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1 & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[4pt] 0 & u_{22} & u_{23}\\[4pt] 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}.
A igualdade A=LU gera equações que permitem determinar os u_{ij} e \ell_{ij} em ordem conveniente (primeiro primeira coluna/primeira linha, etc.). Vou aplicar essas fórmulas passo a passo, mostrando cada cálculo.]

Passo 3

Primeira etapa: determinar u_{11}, \ell_{21}, \ell_{31}, e as entradas u_{12},u_{13}.
Da igualdade A=LU a entrada (1,1)
u_{11}=a_{11}=-1.
As entradas da primeira coluna de L são
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{1}{-1}=-1, \qquad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{-4}{-1}=4.
As entradas da primeira linha de U são iguais às da primeira linha de A:
u_{12}=a_{12}=2,\qquad u_{13}=a_{13}=2.

Passo 4

Segunda etapa: calcular u_{22} e u_{23} usando a fórmula
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12},\qquad u_{23}=a_{23}-\ell_{21}u_{13}.
Substituindo os valores já obtidos:
u_{22}=3-(-1)\cdot 2=3+2=5,
u_{23}=0-(-1)\cdot 2=2.

Passo 5

Terceira etapa: calcular \ell_{32} (entrada restante de L) usando
\ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}}.
Substituindo:
\ell_{32}=\frac{1-4\cdot 2}{5}=\frac{1-8}{5}=\frac{-7}{5} = -\tfrac{7}{5}.

Passo 6

Quarta etapa: calcular u_{33} pela fórmula (entrada (3,3) de A=LU):
u_{33}=a_{33}-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23}.
Substituindo:
u_{33}=8-4\cdot 2-\Bigl(-\tfrac{7}{5}\Bigr)\cdot 2 =8-8+\tfrac{14}{5}=\tfrac{14}{5}.

Passo 7

Agora escrevemos explicitamente L e U com os valores encontrados:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[4pt] 4 & -\tfrac{7}{5} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 5 & 2\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{14}{5} \end{pmatrix}.
(Se quiser, pode verificar multiplicando L U e confirmando que volta A.)]

Passo 8

Próxima fase: resolver L y=b por substituição direta (forward substitution). Escrevendo as equações:
\begin{cases} y_1 = b_1,\\[4pt] y_2 = b_2 - \ell_{21} y_1,\\[4pt] y_3 = b_3 - \ell_{31} y_1 - \ell_{32} y_2. \end{cases}
Substituindo números:
y_1 = -1.
y_2 = 4 - (-1)\cdot(-1) = 4 - 1 = 3.
y_3 = -3 - 4\cdot(-1) - \Bigl(-\tfrac{7}{5}\Bigr)\cdot 3 = -3 +4 + \tfrac{21}{5} =1 + \tfrac{21}{5} =\tfrac{26}{5}.
Portanto
y=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]\tfrac{26}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 9

Última fase: resolver U x = y\) por substituição regressiva (back substitution). As equações são \[\begin{cases} u_{33} x_3 = y_3,\\[4pt] u_{22} x_2 + u_{23} x_3 = y_2,\\[4pt] u_{11} x_1 + u_{12} x_2 + u_{13} x_3 = y_1. \end{cases}
Começando por x_3\]: \[\tfrac{14}{5}\,x_3 = \tfrac{26}{5}\quad\Rightarrow\quad x_3=\frac{26/5}{14/5}=\frac{26}{14}=\frac{13}{7}.\] Agora \(x_2:
5\,x_2 + 2\,x_3 = 3 \quad\Rightarrow\quad 5\,x_2 = 3 - 2\cdot\frac{13}{7} = 3 - \frac{26}{7} = -\frac{5}{7},
x_2 = -\frac{5}{7}\cdot\frac{1}{5} = -\frac{1}{7}.
Finalmente x_1:
-1\cdot x_1 + 2\,x_2 + 2\,x_3 = -1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 1 + 2x_2 + 2x_3.
Substituindo:
x_1 = 1 + 2\Bigl(-\tfrac{1}{7}\Bigr) + 2\Bigl(\tfrac{13}{7}\Bigr) =1 - \tfrac{2}{7} + \tfrac{26}{7} =1 + \tfrac{24}{7} =\tfrac{31}{7}.]

Passo 10

Resultado obtido (resumo dos valores exatos):
x_1=\tfrac{31}{7},\qquad x_2=-\tfrac{1}{7},\qquad x_3=\tfrac{13}{7}.

Resposta

x_{1}=\dfrac{31}{7}
x_{2}=-\dfrac{1}{7}
x_{3}=\dfrac{13}{7}

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