Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 0 \\\\ -4 & 1 & 8 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 4 \\\\ -3 \end{array}\right]
Resolva o sistema utilizando a matriz \mathrm{A}^{-1}.

Passo 1

O problema pede para resolver o sistema linear
\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 3 & 0\\[4pt] -4 & 1 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\[4pt] 4\\[4pt] -3 \end{pmatrix}
usando a matriz inversa \mathrm{A}^{-1}.
Informações dadas (pego do enunciado):
  • A matriz coeficiente é \displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2 & 2\\[4pt]1 & 3 & 0\\[4pt]-4 & 1 & 8\end{pmatrix}.
  • O vetor termo independente é \displaystyle b=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]4\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
  • O que se pede: encontrar \displaystyle x tal que \displaystyle x=A^{-1}b, isto é os valores de \displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.]

Passo 2

Primeiro vamos verificar se \displaystyle A é invertível calculando \det(A). Para uma matriz 3\times3 podemos usar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vou usar expansão pela primeira linha:
\det(A)=(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]1 & 8\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-4 & 8\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]1 & 8\end{pmatrix}=3\cdot8-0\cdot1=24,
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-4 & 8\end{pmatrix}=1\cdot8-0\cdot(-4)=8,
\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-3\cdot(-4)=1+12=13.
Substituindo:
\det(A)=(-1)\cdot24 -2\cdot8 +2\cdot13 = -24 -16 +26 = -14.
Como \det(A)=-14\neq0, a matriz \displaystyle A é invertível e podemos calcular \displaystyle A^{-1}.]

Passo 3

Vou usar a fórmula
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores de A. Explico brevemente:
  • O menor M_{ij} é o determinante da submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • A matriz dos cofatores é (C_{ij}) e \operatorname{adj}(A)=(C_{ij})^{T}.
Agora calculo todos os cofatores C_{ij}.
Para i=1:
C_{11}=+ \det\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]1 & 8\end{pmatrix}=24,
C_{12}=- \det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-4 & 8\end{pmatrix}=-8,
C_{13}=+ \det\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix}=13.
Para i=2:
C_{21}=- \det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 8\end{pmatrix}=-(2\cdot8-2\cdot1)=-(16-2)=-14,
C_{22}=+ \det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]-4 & 8\end{pmatrix}=(-1)\cdot8-2\cdot(-4)=-8+8=0,
C_{23}=- \det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix}= -\big((-1)\cdot1-2\cdot(-4)\big)=-( -1+8)=-7.
Para i=3:
C_{31}=+ \det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]3 & 0\end{pmatrix}=2\cdot0-2\cdot3= -6,
C_{32}=- \det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}= -\big((-1)\cdot0-2\cdot1\big)=- (0-2)=2,
C_{33}=+ \det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}=(-1)\cdot3-2\cdot1=-3-2=-5.
Portanto a matriz dos cofatores é
(C_{ij})= \begin{pmatrix} 24 & -8 & 13\\[4pt] -14 & 0 & -7\\[4pt] -6 & 2 & -5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

A adjunta (ou adjugate) é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(A)=(C_{ij})^{T}= \begin{pmatrix} 24 & -14 & -6\\[4pt] -8 & 0 & 2\\[4pt] 13 & -7 & -5 \end{pmatrix}.
Agora aplica-se a fórmula da inversa com \det(A)=-14:
A^{-1}=\dfrac{1}{-14}\, \begin{pmatrix} 24 & -14 & -6\\[4pt] -8 & 0 & 2\\[4pt] 13 & -7 & -5 \end{pmatrix}.
Dividindo cada entrada por -14 e simplificando frações, obtemos
A^{-1}= \begin{pmatrix} -\tfrac{12}{7} & 1 & \tfrac{3}{7}\\[6pt] \tfrac{4}{7} & 0 & -\tfrac{1}{7}\\[6pt] -\tfrac{13}{14} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{14} \end{pmatrix}.
(Dica prática: sempre simplificar as frações para evitar trabalho extra mais adiante.)]

Passo 5

Agora calculo \displaystyle x=A^{-1}b. Faço a multiplicação linha por coluna componente a componente.
Primeiro, escrevo b de novo:
b=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]4\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Cálculo de x_{1}:
x_{1}=\left(-\tfrac{12}{7}\right)(-1)+1\cdot 4+\left(\tfrac{3}{7}\right)(-3).
Calculo passo a passo:
\left(-\tfrac{12}{7}\right)(-1)=\tfrac{12}{7},\qquad \left(\tfrac{3}{7}\right)(-3)=-\tfrac{9}{7}.
Somando:
x_{1}=\tfrac{12}{7}+4-\tfrac{9}{7}=\tfrac{12-9}{7}+4=\tfrac{3}{7}+4=\tfrac{31}{7}.
Cálculo de x_{2}:
x_{2}=\left(\tfrac{4}{7}\right)(-1)+0\cdot4+\left(-\tfrac{1}{7}\right)(-3).
x_{2}=-\tfrac{4}{7}+0+\tfrac{3}{7}=-\tfrac{1}{7}.
Cálculo de x_{3}:
x_{3}=\left(-\tfrac{13}{14}\right)(-1)+\left(\tfrac{1}{2}\right)4+\left(\tfrac{5}{14}\right)(-3).
Passo a passo:
\left(-\tfrac{13}{14}\right)(-1)=\tfrac{13}{14},\qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)4=2,\qquad \left(\tfrac{5}{14}\right)(-3)=-\tfrac{15}{14}.
Somando:
x_{3}=\tfrac{13}{14}+2-\tfrac{15}{14}=\tfrac{13-15}{14}+2=-\tfrac{2}{14}+2=-\tfrac{1}{7}+2=\tfrac{13}{7}.
Observação rápida: pode-se escrever a solução como fator comum \dfrac{1}{7} multiplicando (31,-1,13), ou deixar em frações já simplificadas.]

Resposta

\displaystyle x_{1}=\tfrac{31}{7}
\displaystyle x_{2}=-\tfrac{1}{7}
\displaystyle x_{3}=\tfrac{13}{7}

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