Determinar os valores de k para os quais o sistema é possível e determinado (SPD) — ou seja, tem solução única.
Determinar os valores de k para os quais o sistema é possível e indeterminado (SPI) — ou seja, tem infinitas soluções.
Determinar os valores de k para os quais o sistema é impossível (SI) — ou seja, não tem solução.
Informações relevantes dadas:
A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & k & 1\\[4pt] 1 & 2 & k \end{pmatrix},
e o vetor de termos independentes é \,b=(3,5,4)^{T}.
O comportamento (única solução, infinitas ou nenhuma) depende das propriedades da matriz A e da matriz aumentada (A\mid b).]
Passo 2
Estratégia e conceitos importantes (explicação didática):
Para um sistema linear quadrado de ordem 3 com matriz de coeficientes A:
Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem solução única (SPD). Isso vem do teorema: matriz invertível ⇒ sistema linear associado tem exatamente uma solução.
Se \det(A)=0 então podem ocorrer dois subcasos: ou o sistema é compatível indeterminado (SPI) ou é incompatível (SI). Para distinguir, compara-se a classificação por posto (rank): se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A\mid b)<3 então SPI; se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}(A\mid b) então SI.
Portanto o primeiro passo prático é calcular \det(A) como função de k. Vou usar a expansão por primeira linha (ou regra de Sarrus, equivalente para 3\times3).
Esta é uma função quadrática em k. Para saber se ela se anula para algum k\in\mathbb{R} (caso em que teríamos que estudar ranks), calcule o discriminante \Delta:
Como \Delta<0, a quadrática não tem raízes reais. Portanto
\det(A)=k^{2}-3k+3 \neq 0\quad\text{para todo }k\in\mathbb{R}.
Pelo argumento explicado no Passo 2, se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem solução única (é SPD).
Passo 5
Interpretação final e conclusão didática:
Como \det(A) nunca é zero para k\in\mathbb{R}, o caso em que precisaríamos comparar postos (para decidir entre SPI e SI) não ocorre aqui: não há valores de k que anulem \det(A).
Logo o sistema é sempre possível e determinado (SPD) para todos os k\in\mathbb{R}.
Consequentemente não existem valores de k que tornem o sistema possível e indeterminado (SPI) nem valores que o tornem impossível (SI).
Força aí — sempre que aparecer um parâmetro, o primeiro passo é quase sempre calcular o determinante da matriz dos coeficientes; se der diferente de zero, problema resolvido: solução única. Se der zero, aí sim partimos para a análise de postos e matrizes aumentadas.