Considere o seguinte sistema de equações lineares com uma variável \boldsymbol{k} :
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=3 \\\\ 2 x+k y+z=5 \\\ x+2 y+k z=4 \end{array}\right.
Determine os valores de \boldsymbol{k} \in \mathbb{R} para os quais o sistema é:
  1. Possível e determinado (SPD)
  2. Possível e indeterminado (SPI)
  3. Impossível (SI)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com parâmetro k\in\mathbb{R}:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=3,\\[4pt] 2x+ky+z=5,\\[4pt] x+2y+kz=4. \end{array}\right.
O que é pedido:
  1. Determinar os valores de k para os quais o sistema é possível e determinado (SPD) — ou seja, tem solução única.
  2. Determinar os valores de k para os quais o sistema é possível e indeterminado (SPI) — ou seja, tem infinitas soluções.
  3. Determinar os valores de k para os quais o sistema é impossível (SI) — ou seja, não tem solução.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & k & 1\\[4pt] 1 & 2 & k \end{pmatrix},
e o vetor de termos independentes é \,b=(3,5,4)^{T}.
  • O comportamento (única solução, infinitas ou nenhuma) depende das propriedades da matriz A e da matriz aumentada (A\mid b).]

Passo 2

Estratégia e conceitos importantes (explicação didática):
  • Para um sistema linear quadrado de ordem 3 com matriz de coeficientes A:
    • Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem solução única (SPD). Isso vem do teorema: matriz invertível ⇒ sistema linear associado tem exatamente uma solução.
    • Se \det(A)=0 então podem ocorrer dois subcasos: ou o sistema é compatível indeterminado (SPI) ou é incompatível (SI). Para distinguir, compara-se a classificação por posto (rank): se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A\mid b)<3 então SPI; se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}(A\mid b) então SI.
  • Portanto o primeiro passo prático é calcular \det(A) como função de k. Vou usar a expansão por primeira linha (ou regra de Sarrus, equivalente para 3\times3).
Cálculo do determinante \det(A):
\det(A)= 1\cdot\det\begin{pmatrix}k & 1\\[4pt] 2 & k\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & k\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & k\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Continuando o cálculo do determinante passo a passo (mostrando cada subdeterminante):
\det\begin{pmatrix}k & 1\\[4pt] 2 & k\end{pmatrix}=k\cdot k - 1\cdot 2 = k^{2}-2,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & k\end{pmatrix}=2\cdot k - 1\cdot 1 = 2k-1,
\det\begin{pmatrix}2 & k\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot 2 - k\cdot 1 = 4-k.
Substituindo na expressão principal:
\det(A) = (k^{2}-2) - (2k-1) + (4-k).
Agrupando termos semelhantes:
\det(A) = k^{2} - 2 - 2k + 1 + 4 - k = k^{2} - 3k + 3.]

Passo 4

Análise da expressão \det(A)=k^{2}-3k+3:
  • Esta é uma função quadrática em k. Para saber se ela se anula para algum k\in\mathbb{R} (caso em que teríamos que estudar ranks), calcule o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 3 = 9-12 = -3.
  • Como \Delta<0, a quadrática não tem raízes reais. Portanto
\det(A)=k^{2}-3k+3 \neq 0\quad\text{para todo }k\in\mathbb{R}.
  • Pelo argumento explicado no Passo 2, se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem solução única (é SPD).

Passo 5

Interpretação final e conclusão didática:
  • Como \det(A) nunca é zero para k\in\mathbb{R}, o caso em que precisaríamos comparar postos (para decidir entre SPI e SI) não ocorre aqui: não há valores de k que anulem \det(A).
  • Logo o sistema é sempre possível e determinado (SPD) para todos os k\in\mathbb{R}.
  • Consequentemente não existem valores de k que tornem o sistema possível e indeterminado (SPI) nem valores que o tornem impossível (SI).
Força aí — sempre que aparecer um parâmetro, o primeiro passo é quase sempre calcular o determinante da matriz dos coeficientes; se der diferente de zero, problema resolvido: solução única. Se der zero, aí sim partimos para a análise de postos e matrizes aumentadas.

Resposta

SPD: \mathbb{R}
SPI: \varnothing
SI: \varnothing

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