Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
. Precisa-se encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Método escolhido: integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que ela ajuda aqui.
Fórmula de integração por partes:
Significado: escolhe-se uma parte da integral como
(que será diferenciada) e outra como
(que será integrada). A ideia é transformar a integral original numa mais simples.
Escolha prática para este problema: tomar
Motivo simples e intuitivo:
costuma simplificar quando derivada (aparece uma razão que pode simplificar com
), e
é trivial de integrar.
Passo 3
Calcular
e
.
Derivada de
:
Usa-se a regra da cadeia: se então
.
Aqui e
. Logo
Usa-se a regra da cadeia: se
Aqui
Integrar
para obter
:
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Simplificando o integrando:
Portanto
Passo 5
Simplificar a integral restante usando álgebra simples:
Substituindo:
Passo 6
Calcular as integrais simples:
pois a derivada de
é
.
Portanto, reunindo tudo:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida (opcional mas útil): derivando o resultado deve-se obter a função original.
Derivando obtém-se
. Derivando
dá
. Derivando
dá
. Somando:
Derivando
confirmando que a primitiva está correta.