\int \ln \left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \ln\!\left(x^{2}+1\right)\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é \ln\!\left(x^{2}+1\right). Precisa-se encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Método escolhido: integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que ela ajuda aqui.
Fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Significado: escolhe-se uma parte da integral como u (que será diferenciada) e outra como dv (que será integrada). A ideia é transformar a integral original numa mais simples.
Escolha prática para este problema: tomar
u = \ln\!\left(x^{2}+1\right),\qquad dv = dx.
Motivo simples e intuitivo: \ln(\cdot) costuma simplificar quando derivada (aparece uma razão que pode simplificar com x), e dv=dx é trivial de integrar.

Passo 3

Calcular du e v.
Derivada de u:
Usa-se a regra da cadeia: se u=\ln(g(x)) então du = \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx.
Aqui g(x)=x^{2}+1 e g'(x)=2x. Logo
du = \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Integrar dv para obter v:
v = \int dv = \int dx = x.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int \ln\!\left(x^{2}+1\right)\,dx = u v - \int v\,du = x\ln\!\left(x^{2}+1\right) - \int x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Simplificando o integrando:
x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}.
Portanto
\int \ln\!\left(x^{2}+1\right)\,dx = x\ln\!\left(x^{2}+1\right) - 2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 5

Simplificar a integral restante usando álgebra simples:
\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}=1-\frac{1}{x^{2}+1}.
Substituindo:
-2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = -2\int\left(1-\frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx = -2\int 1\,dx + 2\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 6

Calcular as integrais simples:
\int 1\,dx = x, \qquad \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x,
pois a derivada de \arctan x é \dfrac{1}{1+x^{2}}.
Portanto, reunindo tudo:
\int \ln\!\left(x^{2}+1\right)\,dx = x\ln\!\left(x^{2}+1\right) -2x + 2\arctan x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida (opcional mas útil): derivando o resultado deve-se obter a função original.
Derivando \,x\ln(x^{2}+1) obtém-se \ln(x^{2}+1) + \dfrac{2x^{2}}{x^{2}+1}. Derivando -2x -2. Derivando 2\arctan x \dfrac{2}{x^{2}+1}. Somando:
\ln(x^{2}+1) + \frac{2x^{2}}{x^{2}+1} -2 + \frac{2}{x^{2}+1} = \ln(x^{2}+1) + \frac{2x^{2}+2}{x^{2}+1} -2 = \ln(x^{2}+1) + 2 -2 = \ln(x^{2}+1),
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

x\ln\!\left(x^{2}+1\right)-2x+2\arctan x + C

Exercícios relacionados