Considere o seguinte sistema de equações representando um circuito de duas malhas:
[ll 6 & 2 1 & 5 ] cdot[l I1 I2 ]=[c 12 9 ]
a) Determine se a matriz é invertível.
b) Use a inversa para encontrar os valores das correntes I1 e I2.
c) Verifique a solução substituindo na equação original.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear proveniente de um circuito de duas malhas
6 & 2 [6pt] 1 & 5 I1 [3pt] I2 = 12 [3pt] 9
O conteúdo envolve verificar se a matriz dos coeficientes é invertível, calcular sua inversa e usar essa inversa para obter (I1,I2), depois checar a solução por substituição.]

Passo 2

Para saber se a matriz
A = 6 & 2 [3pt] 1 & 5
é invertível, calculamos seu determinante:
det(A) = 6cdot5 - 2cdot1 = 30 - 2 = 28
Como det(A)=28 neq 0, concluímos que A é invertível.]

Passo 3

A inversa de A para matrizes 2times2 é dada por tfrac1det(A) vezes a matriz adjunta. Assim,
A^-1 = 128 5 & -2 [3pt] -1 & 6 ]

Passo 4

Agora obtemos
I1 [3pt] I2 = A^-1 12 [3pt] 9 = 128 5 & -2 [3pt] -1 & 6 12 [3pt] 9
Calculando o produto:
5cdot12 - 2cdot9 [4pt] -1cdot12 + 6cdot9 = 60 - 18 [4pt] -12 + 54 = 42 [4pt] 42 ,
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I1 [3pt] I2 = 128 42 [3pt] 42 = 4228 [3pt] 4228 = 32 [3pt] 32 ]

Passo 5

Verificamos na equação original:
  1. Para a primeira linha: 6cdot32 + 2cdot32 = 9 + 3 = 12
  2. Para a segunda linha: 1cdot32 + 5cdot32 = 32 + 152 = 182 = 9
Como as duas equações conferem, a solução está correta.

Resposta

a) A matriz é invertível, pois det(A)=28neq0.
b) I1= 32,A e I2= 32,A
c) Substituindo encontra-se 12 e 9 nos lados direitos, confirmando a solução.

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