Um vetor de coordenadas v será transformado por duas matrizes T1 e T2 sucessivamente. As transformações são:
T1=[ccc 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 ], T2=[ccc 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ], v=[l 2 3 1 ]
a) Calcule v^prime=T2 cdot(T1 cdot v)
b) Interprete geometricamente a transformação aplicada no vetor

Passo 1

O enunciado nos dá um vetor vec v em R^3 e duas matrizes de transformação linear
T1=1&0&00&0&-10&1&0, T2=0&1&0-1&0&00&0&1, vec v=231
Queremos calcular
v'=T2l(T1,vec vr)
usando produto matriz-vetor, e depois interpretar geometricamente essas transformações como rotações em torno de eixos cartesianos.

Passo 2

Calculamos primeiro vec w=T1,vec v. Fazendo a multiplicação
vec w =1&0&00&0&-10&1&0 231 = 1cdot2 + 0cdot3 + 0cdot1 0cdot2 + 0cdot3 + (-1)cdot1 0cdot2 + 1cdot3 + 0cdot1 =2-13

Passo 3

Agora aplicamos T2 em vec w:
v' =T2,vec w =0&1&0-1&0&00&0&1 2-13 = 0cdot2 + 1cdot(-1) + 0cdot3 -1cdot2 + 0cdot(-1) + 0cdot3 0cdot2 + 0cdot(-1) + 1cdot3 =-1-23

Passo 4

Interpretando geometricamente:
  • T1 envia (x,y,z)mapsto(x,-z,y). Isso equivale a uma rotação de +90^circ em torno do eixo x, pois em cada plano yz temos (y,z)mapsto(-z,y).
  • T2 envia (x,y,z)mapsto(y,-x,z). Isso equivale a uma rotação de -90^circ em torno do eixo z, pois em cada plano xy temos (x,y)mapsto(y,-x).
Portanto, a transformação total gira vec v primeiro +90^circ em torno do eixo x e depois -90^circ em torno do eixo z.

Resposta

v'=-1-23, resultante de uma rotação de +90^circ em torno de x seguida de uma rotação de -90^circ em torno de z.

Exercícios relacionados