Faça trocas de linhas, verifique a convergência, resolva o sistema linear usando os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, e erro relativo epsilon=0.05. (lll0 & 2 & 2 1 & 3 & 0 3 & 1 & 1)(lx1 x2 x3)=(l8 6 4)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Primeiro, o que a gente tem aqui é um sistema de três equações com três incógnitas:
Verificar se o sistema converge usando os métodos iterativos.
Aplicar os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel começando de 0 0 0 e parar quando o erro relativo for menor que 0,05.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se dá para trocar as linhas e deixar a matriz de forma que facilite a aplicação dos métodos. A ideia é tentar deixar a matriz diagonal dominante, o que ajuda na convergência.
Olhemos a matriz dos coeficientes:
A = 0 & 2 & 2 1 & 3 & 0 3 & 1 & 1
A diagonal dominante significa que o valor na diagonal principal de cada linha é maior ou igual à soma dos outros valores daquela linha. Vamos trocar as linhas para tentar isso.
Troca das linhas 1 e 2:
A = 1 & 3 & 0 0 & 2 & 2 3 & 1 & 1
Agora, na primeira linha, A = 3 & 1 & 1 0 & 2 & 2 1 & 3 & 0 ? Não, . Então, vamos trocar a linha 1 com a linha 3:
Agora, vamos verificar novamente:
Linha 1: → ✔️
Linha 2: → ✔️
Linha 3: → ✖️
Ainda não está totalmente dominante. Podemos deixar assim mesmo, pois algumas linhas já são dominantes, e seguir com a verificação de convergência.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o sistema converge. Uma condição suficiente para a convergência dos métodos iterativos é que a matriz seja diagonal dominante ou que todas as suas autovalores estejam dentro do círculo unitário.
Como não temos uma matriz totalmente diagonal dominante, vamos assumir que o sistema converge e prosseguir. Na prática, se a gente perceber que não está convergindo, teria que repensar a estratégia.
Passo 4
Vamos aplicar o método de Gauss-Jacobi. Esse método usa a seguinte fórmula iterativa:
Percebi que na terceira equação, temos uma divisão por zero, o que é impossível. Isso indica que o sistema não está bem formulado para o método de Gauss-Jacobi com a troca de linhas que fizemos.
x1 = Não definido na primeira equação x2 = 6 - x13 x3 = 4 - 3x1 - x21 = 4 - 3x1 - x2 ãçã
Essa configuração também apresenta dificuldades. Parece que trocar as linhas não ajudou muito. Vamos voltar à matriz original e tentar aplicar os métodos diretamente.
Passo 5
Vamos aplicar diretamente o método de Gauss-Seidel. Diferente do Gauss-Jacobi, esse método usa as últimas atualizações das variáveis dentro da mesma iteração, o que geralmente acelera a convergência.
A gente percebe que o erro está aumentando, indicando que o método não está convergindo com essa configuração inicial.
Resposta
Infelizmente, com a configuração atual e a escolha inicial de 0 0 0, os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel não estão convergindo para uma solução dentro do erro relativo de 0,05. Pode ser necessário revisar a formulação do sistema ou tentar outras técnicas de resolução.