Faça trocas de linhas, verifique a convergência, resolva o sistema linear usando os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, com x^(0)=(l0 0 0) e erro relativo epsilon=0.05. (lll0 & 2 & 2 1 & 3 & 0 3 & 1 & 1)(lx1 x2 x3)=(l8 6 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Primeiro, o que a gente tem aqui é um sistema de três equações com três incógnitas:
0x1 + 2x2 + 2x3 = 8 1x1 + 3x2 + 0x3 = 6 3x1 + 1x2 + 1x3 = 4
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Trocar as linhas da matriz para facilitar.
  2. Verificar se o sistema converge usando os métodos iterativos.
  3. Aplicar os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel começando de 0 0 0 e parar quando o erro relativo for menor que 0,05.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se dá para trocar as linhas e deixar a matriz de forma que facilite a aplicação dos métodos. A ideia é tentar deixar a matriz diagonal dominante, o que ajuda na convergência.
Olhemos a matriz dos coeficientes:
A = 0 & 2 & 2 1 & 3 & 0 3 & 1 & 1
A diagonal dominante significa que o valor na diagonal principal de cada linha é maior ou igual à soma dos outros valores daquela linha. Vamos trocar as linhas para tentar isso.
Troca das linhas 1 e 2:
A = 1 & 3 & 0 0 & 2 & 2 3 & 1 & 1
Agora, na primeira linha, A = 3 & 1 & 1 0 & 2 & 2 1 & 3 & 0 ? Não, . Então, vamos trocar a linha 1 com a linha 3:
Agora, vamos verificar novamente:
  • Linha 1: ✔️
  • Linha 2: ✔️
  • Linha 3: ✖️
Ainda não está totalmente dominante. Podemos deixar assim mesmo, pois algumas linhas já são dominantes, e seguir com a verificação de convergência.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o sistema converge. Uma condição suficiente para a convergência dos métodos iterativos é que a matriz seja diagonal dominante ou que todas as suas autovalores estejam dentro do círculo unitário.
Como não temos uma matriz totalmente diagonal dominante, vamos assumir que o sistema converge e prosseguir. Na prática, se a gente perceber que não está convergindo, teria que repensar a estratégia.

Passo 4

Vamos aplicar o método de Gauss-Jacobi. Esse método usa a seguinte fórmula iterativa:
xi^(k+1) = 1aii ( bi - sumj neq i aij xj^(k) )
Usando nossa matriz reorganizada:
3x1 + x2 + x3 = 4 0x1 + 2x2 + 2x3 = 8 1x1 + 3x2 + 0x3 = 6
Vamos reescrever para facilitar as iterações:
x1 = 4 - x2 - x33 x2 = 8 - 2x32 = 4 - x3 x3 = 6 - x1 - 3x20 (Prob<=ma aqui)
Percebi que na terceira equação, temos uma divisão por zero, o que é impossível. Isso indica que o sistema não está bem formulado para o método de Gauss-Jacobi com a troca de linhas que fizemos.
Vamos tentar reescrever as equações original:
0x1 + 2x2 + 2x3 = 8 1x1 + 3x2 + 0x3 = 6 3x1 + 1x2 + 1x3 = 4
Agora, isolando cada variável:
x1 = Não definido na primeira equação x2 = 6 - x13 x3 = 4 - 3x1 - x21 = 4 - 3x1 - x2 ãçã
Essa configuração também apresenta dificuldades. Parece que trocar as linhas não ajudou muito. Vamos voltar à matriz original e tentar aplicar os métodos diretamente.

Passo 5

Vamos aplicar diretamente o método de Gauss-Seidel. Diferente do Gauss-Jacobi, esse método usa as últimas atualizações das variáveis dentro da mesma iteração, o que geralmente acelera a convergência.
Usando a matriz original:
0x1 + 2x2 + 2x3 = 8 1x1 + 3x2 + 0x3 = 6 3x1 + 1x2 + 1x3 = 4
Vamos isolar cada variável:
2x2 + 2x3 = 8 Rightarrow x2 = 8 - 2x32 = 4 - x3 x1 = 6 - 3x21 = 6 - 3x2 x3 = 4 - 3x1 - x21 = 4 - 3x1 - x2
Agora, começando com 0 0 0:
Iteração 1:
x2^(1) = 4 - x3^(0) = 4 - 0 = 4 x1^(1) = 6 - 3x2^(1) = 6 - 3(4) = -6 x3^(1) = 4 - 3x1^(1) - x2^(1) = 4 - 3(-6) - 4 = 4 + 18 - 4 = 18
Erro relativo:
Erro = |x^(1) - x^(0)||x^(1)| = |-6 - 0| + |4 - 0| + |18 - 0||-6| + |4| + |18| = 6 + 4 + 186 + 4 + 18 = 2828 = 1 > 0.05
Como o erro é maior que 0,05, precisamos continuar.
Iteração 2:
x2^(2) = 4 - x3^(1) = 4 - 18 = -14 x1^(2) = 6 - 3x2^(2) = 6 - 3(-14) = 6 + 42 = 48 x3^(2) = 4 - 3x1^(2) - x2^(2) = 4 - 3(48) - (-14) = 4 - 144 + 14 = -126
Erro relativo:
Erro = |48 - (-6)| + |-14 - 4| + |-126 - 18||48| + |-14| + |-126| = 54 + 18 + 14448 + 14 + 126 = 216188 approx 1.15 > 0.05
A gente percebe que o erro está aumentando, indicando que o método não está convergindo com essa configuração inicial.

Resposta

Infelizmente, com a configuração atual e a escolha inicial de 0 0 0, os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel não estão convergindo para uma solução dentro do erro relativo de 0,05. Pode ser necessário revisar a formulação do sistema ou tentar outras técnicas de resolução.

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