Considere o seguinte sistema linear de equações
\left\{\begin{array}{c} 3 x+2 y-z=1 \\\\ 2 x-2 y+4 z=-2 \\\\ -x+\frac{1}{2} y-z=0 \end{array}\right.
Uma possível solução desse sistema é

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três equações e três incógnitas e pede uma possível solução. As equações são:
\left\{\begin{array}{l} 3x+2y-z=1,\\[4pt] 2x-2y+4z=-2,\\[4pt] -x+\tfrac{1}{2}y-z=0. \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há três incógnitas: x, y e z.
  • Há três equações lineares que relacionam essas incógnitas.
  • O objetivo é encontrar valores de \,x,y,z que satisfaçam simultaneamente as três equações.]

Passo 2

Vamos trabalhar de forma prática: transformar o sistema em uma matriz aumentada e usar operações elementares (adição de múltiplos de uma linha a outra, multiplicar uma linha por constante não-nula, trocar linhas) para triangularizar o sistema (eliminar incógnitas abaixo do pivô). Antes, elimino a fração da terceira equação para facilitar as contas: multiplicar a terceira equação por 2 é uma operação equivalente (não altera o conjunto solução). A terceira equação fica
-2x+y-2z=0.
A matriz aumentada correspondente (após essa multiplicação) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 2 & -2 & 4 & -2\\[4pt] -2 & 1 & -2 & 0 \end{array}\right].
Breve explicação sobre matriz aumentada e operações: a matriz aumentada coloca os coeficientes à esquerda e os termos constantes à direita; as operações elementares nas linhas correspondem a recombinações das equações que preservam o conjunto solução. O objetivo é obter uma forma triangular (zeros abaixo dos pivôs) para resolver por substituição.]

Passo 3

Eliminar x das linhas 2 e 3 usando combinações lineares que mantêm entradas inteiras (para facilitar a explicação). Faço duas combinações:
  • Para obter uma nova linha 2: faço 3\cdot(\text{linha }2) - 2\cdot(\text{linha }1). Calculo termo a termo:
    3\cdot[2,\,-2,\,4\,|\,-2] - 2\cdot[3,\,2,\,-1\,|\,1] = [6,-6,12|-6] - [6,4,-2|2] = [0,-10,14|-8].
    Então a nova linha 2 é [0,\,-10,\,14\,|\,-8].
  • Para obter uma nova linha 3: faço 3\cdot(\text{linha }3) + 2\cdot(\text{linha }1). Calculo:
    3\cdot[-2,\,1,\,-2\,|\,0] + 2\cdot[3,\,2,\,-1\,|\,1] = [-6,3,-6|0] + [6,4,-2|2] = [0,7,-8|2].
    Então a nova linha 3 é [0,\,7,\,-8\,|\,2].
Após essas operações (e mantendo a linha 1 igual), a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & -10 & 14 & -8\\[4pt] 0 & 7 & -8 & 2 \end{array}\right].]

Passo 4

Simplifico a linha 2 mudando o sinal (multiplicando por -1) para ter coeficiente de y positivo, o que facilita combinações subsequentes:
\text{linha }2 \leftarrow -1\cdot\text{linha }2 = [0,\,10,\,-14\,|\,8].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 10 & -14 & 8\\[4pt] 0 & 7 & -8 & 2 \end{array}\right].
Vou eliminar y da linha 3 usando uma combinação inteira: tomo 10\cdot(\text{linha }3) - 7\cdot(\text{linha }2). Calculo:
10\cdot[0,7,-8|2] - 7\cdot[0,10,-14|8] = [0,70,-80|20] - [0,70,-98|56] = [0,0,18|-36].
Então a nova linha 3 é [0,0,18|-36]. A matriz triangularizada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 10 & -14 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 18 & -36 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora a última linha dá uma equação com apenas z. Escrevendo-a:
18z=-36.
Dividindo por 18 (operações válidas porque 18\neq0):
z=\frac{-36}{18}=-2.

Passo 6

Usar substituição (retro-substituição) para encontrar y. A segunda linha fornece:
10y-14z=8.
Substituindo z=-2:
10y-14\cdot(-2)=8 \quad\Rightarrow\quad 10y+28=8.
Isolando y:
10y=8-28=-20 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{-20}{10}=-2.

Passo 7

Finalmente, uso a primeira equação para encontrar x. A primeira equação é
3x+2y-z=1.
Substituo y=-2 e z=-2:
3x+2\cdot(-2)-(-2)=1 \quad\Rightarrow\quad 3x-4+2=1.
Simplificando:
3x-2=1 \quad\Rightarrow\quad 3x=3 \quad\Rightarrow\quad x=1.

Passo 8

(Faço uma verificação rápida em uma das equações para ganhar confiança — opcional em prova mas bom hábito.) Substituindo \,x=1, \,y=-2, \,z=-2 na segunda equação 2x-2y+4z=-2:
2\cdot1 -2\cdot(-2) +4\cdot(-2)=2+4-8=-2,
que confere. As soluções satisfazem as equações.

Resposta

(x,y,z)=(1,-2,-2)

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