Leia a seção sobre condicionamento de sistemas lineares e calcule os números de condicionamento das seguintes matrizes com relação a (\|\cdot\|_{\infty}).
C=\left[ \begin{array}{ll}1.003 & 58.09 \\ 5.550 & 321.8\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número de condicionamento da matriz C usando a norma \|\cdot\|_{\infty}. A matriz fornecida é
C=\begin{pmatrix}1,003 & 58,09\\[4pt] 5,550 & 321,8\end{pmatrix}.
Dados que vamos usar:
  • Entradas de C: c_{11}=1,003, c_{12}=58,09, c_{21}=5,550, c_{22}=321,8.
  • Pedido: calcular \operatorname{cond}_{\infty}\text{(C)}, isto é, o número de condicionamento relativo à norma infinito.]

Passo 2

Definições e ideia básica (para lembrar e aplicar na prova):
  • A norma infinito de uma matriz A é o máximo entre as somas absolutas das linhas:
\|A\|_{\infty}=\max_{1\le i\le n}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|.
Aqui |a_{ij}| é o valor absoluto da entrada a_{ij}.
  • O número de condicionamento relativo à norma infinito é
\operatorname{cond}_{\infty}(A)=\|A\|_{\infty}\,\|A^{-1}\|_{\infty}.
Interpretação rápida e útil: \operatorname{cond}_{\infty}(A) mede quanto um pequeno erro na entrada pode ser amplificado na solução de um sistema Ax=b. Quanto maior o número, mais “mal condicionada” é a matriz.

Passo 3

Calcular \|C\|_{\infty} aplicando a definição (somar valores absolutos das linhas e pegar o máximo).
Linha 1:
|1,003|+|58,09|=1,003+58,09=59,093.
Linha 2:
|5,550|+|321,8|=5,550+321,8=327,35.
Portanto
\|C\|_{\infty}=\max\{59,093,\;327,35\}=327,35.

Passo 4

Calcular C^{-1}. Para matriz 2\times2,
C^{-1}=\dfrac{1}{\det\text{(C)}}\begin{pmatrix}c_{22} & -c_{12}\\[4pt] -c_{21} & c_{11}\end{pmatrix}.
Primeiro o determinante:
\det\text{(C)}=1,003\cdot321,8-58,09\cdot5,550.
Calcular os produtos:
1,003\cdot321,8=322,7654, \qquad 58,09\cdot5,550=322,3995.
Logo
\det\text{(C)}=322,7654-322,3995=0,3659.
Agora o inverso:
C^{-1}=\dfrac{1}{0,3659}\begin{pmatrix}321,8 & -58,09\\[4pt] -5,550 & 1,003\end{pmatrix}.
Dividindo cada entrada por 0,3659:
(C^{-1})_{11}=\dfrac{321,8}{0,3659}\approx879,4754,
(C^{-1})_{12}=\dfrac{-58,09}{0,3659}\approx-158,7595,
(C^{-1})_{21}=\dfrac{-5,550}{0,3659}\approx-15,1681,
(C^{-1})_{22}=\dfrac{1,003}{0,3659}\approx2,7416.
Portanto, numericamente,
C^{-1}\approx\begin{pmatrix}879,4754 & -158,7595\\[4pt] -15,1681 & 2,7416\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular \|C^{-1}\|_{\infty} somando as absolutas das linhas do inverso:
Linha 1:
|879,4754|+|{-158,7595}|=879,4754+158,7595=1038,2349.
Linha 2:
|{-15,1681}|+|2,7416|=15,1681+2,7416=17,9097.
Logo
\|C^{-1}\|_{\infty}=\max\{1038,2349,\;17,9097\}=1038,2349.

Passo 6

Finalmente, o número de condicionamento:
\operatorname{cond}_{\infty}\text{(C)}=\|C\|_{\infty}\,\|C^{-1}\|_{\infty}=327,35\cdot1038,2349\approx339866,2.
Interpretação rápida e motivadora: esse valor é enorme ( \sim3{,}4\times10^{5}), portanto C é muito mal condicionada — pequenas perturbações nos dados podem causar grandes variações na solução de Cx=b. Aguenta firme: identificar matrizes assim na prova e dizer que são mal condicionadas já conta bastante!

Resposta

\operatorname{cond}_{\infty}\text{(C)}\approx339866,2

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