Leia a seção sobre condicionamento de sistemas lineares e calcule os números de condicionamento das seguintes matrizes com relação a
.
C=\left[
\right].
C=\left[
Passo 1
O enunciado pede para calcular o número de condicionamento da matriz
usando a norma
. A matriz fornecida é
Dados que vamos usar:
- Entradas de
: , , , . - Pedido: calcular
, isto é, o número de condicionamento relativo à norma infinito.]
Passo 2
Definições e ideia básica (para lembrar e aplicar na prova):
- A norma infinito de uma matriz
é o máximo entre as somas absolutas das linhas:
Aqui
é o valor absoluto da entrada
.
- O número de condicionamento relativo à norma infinito é
Interpretação rápida e útil:
mede quanto um pequeno erro na entrada pode ser amplificado na solução de um sistema
. Quanto maior o número, mais “mal condicionada” é a matriz.
Passo 3
Calcular
aplicando a definição (somar valores absolutos das linhas e pegar o máximo).
Linha 1:
Linha 1:
Linha 2:
Portanto
Passo 4
Calcular
. Para matriz
,
Primeiro o determinante:
Calcular os produtos:
Logo
Agora o inverso:
Dividindo cada entrada por
:
Portanto, numericamente,
Passo 5
Calcular
somando as absolutas das linhas do inverso:
Linha 1:
Linha 1:
Linha 2:
Logo
Passo 6
Finalmente, o número de condicionamento:
Interpretação rápida e motivadora: esse valor é enorme (
), portanto
é muito mal condicionada — pequenas perturbações nos dados podem causar grandes variações na solução de
. Aguenta firme: identificar matrizes assim na prova e dizer que são mal condicionadas já conta bastante!