Considere o seguinte sistema linear:
rll 2 x+y-z & = & 8 -3 x-y+2 z & = & -11 -2 x+y+2 z & = & -3
(a) Escreva o sistema na forma matricial A cdot x=b, identificando a matriz dos coeficientes A e o vetor b.
(b) Calcule o determinante de A, isto é, det(A).
(c) Calcule os determinantes det(A1), det(A2) e det(A3), substituindo as colunas de A pelo vetor b, conforme a Regra de Cramer.
(d) Determine a solução do sistema usando xi=det(Ai)det(A) para i=1,2,3.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de três equações e três incógnitas x,y,z. Precisamos reescrevê-lo na forma matricial Acdotx=b, calcular det(A), os determinantes det(Ai) pela Regra de Cramer e, finalmente, obter a solução xi=det(Ai)det(A). O conteúdo é sistema linear e Regra de Cramer (uso de determinantes).

Passo 2

Para escrever na forma matricial identificamos a matriz de coeficientes , o vetor de incógnitas e o vetor de termos independentes :

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =2-1 & 2 1 & 2 -1-3 & 2 -2 & 2 +(-1)-3 & -1 -2 & 1 =2(-1cdot2-2cdot1) -(-3cdot2-2cdot(-2)) -(-3cdot1-(-1)cdot(-2)) =-8+2+5=-1

Passo 4

Substituímos cada coluna de A por b e calculamos os determinantes:
A1= 8 & 1 & -1 -11 & -1 & 2 -3 & 1 & 2 , A2= 2 & 8 & -1 -3 & -11 & 2 -2 & -3 & 2 , A3= 2 & 1 & 8 -3 & -1 & -11 -2 & 1 & -3
det(A1)=-2, det(A2)=-3, det(A3)=1

Passo 5

Aplicando xi=dfracdet(Ai)det(A), obtemos
x=-2-1=2, y=-3-1=3, z=1-1=-1

Resposta

(a) A=2&1&-1-3&-1&2-2&1&2, b=8-11-3.
(b) det(A)=-1.
(c) det(A1)=-2, det(A2)=-3, det(A3)=1.
(d) x=2, y=3, z=-1.

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