Verifique que o vetor Xp é uma solução particular do sistema dado
X^{\prime}=\left( ll2 & 1 3 & 4\right) X-\binom{1}{7} e^{t}, \operatorname{com} X_{p}=\binom{1}{1} e^{t}+\binom{1}{-1} t e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função particular
Xp(t)=11e^t+1-1t,e^t
satisfaz o sistema não-homogêneo
X' = 2 & 13 & 4X -binom17e^t
O que precisamos fazer é calcular Xp' e mostrar que
Xp' = A,Xp - binom17e^t,
com A=2&13&4.

Passo 2

Vamos derivar Xp(t). Defina
u=11, v=1-1,
então
Xp(t)=u,e^t+v,(t,e^t)
Como ddt(t,e^t)=e^t(t+1), temos
Xp'(t) =ddtl(u,e^tr) +ddtl(v,t,e^tr) =u,e^t+v,e^t(t+1)
Agrupando,
Xp'(t) =l(u+vr)e^t+v,t,e^t =20e^t +1-1t,e^t

Passo 3

Agora calcule A,Xp-binom17e^t. Primeiro
A,u =2&13&411 =37, A,v =2&13&41-1 =1-1
Logo
A,Xp =(A,u)e^t+(A,v),t,e^t =37e^t +1-1t,e^t
e subtraindo binom17e^t vem
A,Xp-binom17e^t =3-17-7e^t +1-1t,e^t =20e^t +1-1t,e^t

Passo 4

Comparando Xp'(t) e A,Xp(t)-binom17e^t, vemos que ambos são
20e^t +1-1t,e^t
Portanto a igualdade exigida pelo sistema está satisfeita.

Resposta

De fato Xp(t) é solução particular do sistema.

Exercícios relacionados