1. y^2 y^prime prime=y^prime
[ Su>=stāo: Faça u=y^prime para que y^prime prime=d ud x=d ud y d yd x=d ud y u] āç

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y^2y'' = y'
e sugere usar a substituição u = y'. O conteúdo é redução de ordem em equação não linear e separação de variáveis. Vamos transformar em uma equação para u(y), resolver e voltar a y(x).

Passo 2

Com u=y', temos
y'' = dudx = dudy,dydx = u,dudy
Substituindo em y^2y''=y'
y^2,u,dudy = u

Passo 3

Há a solução trivial u=0, que implica y'=0 e portanto
y = C0,
com constante C0. Agora consideramos uneq0 e dividimos por u:
y^2,dudy = 1

Passo 4

Separamos variáveis para u(y):
dudy = 1y^2 Longrightarrow du = y^-2dy,
e integramos em y:
u = -1y + A,
onde A é constante de integração. Voltando a u=y',
y' = A - 1y

Passo 5

Agora separamos variáveis na equação de primeira ordem
dydx = A - 1y Longrightarrow dyA - 1/y = dx
Reescrevendo o lado esquerdo:
dyA - 1/y = y,dyA,y - 1

Passo 6

Para integrar integral y,dyA,y-1, fazemos t = A,y -1, então dt = A,dy e y = (t+1)/A. Logo
integral y,dyA,y-1 = integral t+1A,dtAt = 1A^2integrall(1 + 1tr)dt = 1A^2l(t + ln|t|r) + B,
com constante B. Voltando a t=A,y-1, obtemos
A,y -1 + lnlvert A,y-1rvertA^2 = x + B

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por A^2 e reunindo constantes em C, a solução implícita geral (não trivial) é
A,y - 1 + lnlvert A,y - 1rvert = A^2,x + C,
onde A e C são constantes de integração.

Resposta

As soluções gerais são:
(1) trivial
y(x) = C0;
(2) não trivial (implícita)
A,y - 1 + lnl|A,y - 1r| = A^2,x + C,
com A,CinR.

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