Suponha que os vetores dados são soluções de um sistema da forma . Verifique se eles formam um conjunto fundamental de soluções. e X3=(c3 -6 12)+(l2 4 4) t
Passo 1
O enunciado dá três soluções vetoriais de um sistema linear da forma X'=AX:
X1(t)=1-24 +122t, X2(t)=1-24, X3(t)=3-612 +244t
Para formar um conjunto fundamental de soluções em R^3, elas devem ser linearmente independentes como funções de t. Vamos verificar isso usando o Wronskiano (determinante das colunas formadas pelas soluções em um mesmo t).
Passo 2
Escolhemos t=0 para simplificar. Avaliando em t=0, obtemos as colunas
X1(0)=1-24, X2(0)=1-24, X3(0)=3-612
Formamos a matriz M cujas colunas são esses vetores:
M= 1 & 1 & 3 -2 & -2 & -6 4 & 4 & 12
Passo 3
Observamos que a segunda coluna é idêntica à primeira,
X2(0)=X1(0),
e a terceira coluna é múltiplo da primeira,
X3(0)=3,X1(0)
Logo as três colunas são linearmente dependentes, o que implica
det(M)=0
Passo 4
Como o Wronskiano em t=0 é zero, as funções X1,X2,X3 não são linearmente independentes em R^3. Portanto, elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções.
Resposta
As soluções não formam um conjunto fundamental, pois são linearmente dependentes.