Considere o seguinte sistema que modela o comportamento de duas espécies x(t), y(t), a primeira sendo presa da segunda:
x^prime(t) & =x(t)(32-y(t)2) y^prime(t) & =y(t)(-12+x(t))
Resolva a equação diferencial do item anterior e deduza que existe uma função h(x, y) tal que as soluções do sistema são as curvas de nível de h(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações diferenciais que modela o comportamento de duas espécies: x(t), que é a presa, e y(t), que é a predadora. O conteúdo aqui é sobre sistemas de equações diferenciais e como resolver para encontrar relações entre as variáveis. Para resolver esse sistema, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais autônomas e encontrar uma função que descreva as curvas de nível das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o sistema de equações que temos:
x^prime(t) & = x(t)(32 - y(t)2) y^prime(t) & = y(t)(-12 + x(t))
Aqui, x^prime(t) e y^prime(t) representam as taxas de variação das populações das espécies ao longo do tempo.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma relação entre x e y que se mantém constante ao longo do tempo, ou seja, uma função h(x, y) tal que h(x, y) = C, onde C é uma constante. Isso significa que as trajetórias das populações no plano xy são curvas de nível de h(x, y).

Passo 4

Para encontrar essa função h(x, y), podemos usar o método de separação de variáveis para sistemas de equações diferenciais. Vamos dividir a equação para y^prime(t) pela equação para x^prime(t):
dydx = y^prime(t)x^prime(t) = y (-12 + x )x ( 32 - y2 )

Passo 5

Simplificando a expressão acima:
dydx = y (-12 + x)x (32 - y2) = y (2x - 1)x (3 - y)
Agora temos uma equação diferencial ordinária que relaciona y e x diretamente.

Passo 6

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis:
3 - yy (2x - 1) dy = 1x dx
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a função h(x, y).

Passo 7

Integrando o lado esquerdo:
integral 3 - yy (2x - 1) dy
Aqui, vamos precisar de uma substituição ou decomposição fracionária para facilitar a integração. Mas, para simplificar, percebemos que essa integral pode ser complexa, então vamos buscar outra abordagem.

Passo 8

Outra maneira é encontrar uma função h(x, y) tal que suas derivadas parciais se relacionem com as equações dadas. Ou seja:
partial hpartial x = M = x ( 32 - y2 )
partial hpartial y = N = y ( -12 + x )
Precisamos encontrar h(x, y) que satisfaz essas condições.

Passo 9

Integrando M em relação a x para encontrar h(x, y):
h(x, y) = integral x ( 32 - y2 ) dx = 34 x^2 - y4 x^2 + g(y)
Aqui, g(y) é uma função arbitrária de y que emerge da integração.

Passo 10

Agora, calculamos a derivada parcial de h(x, y) em relação a y e igualamos a N:
partial hpartial y = -14 x^2 + g'(y) = y ( -12 + x )
Para igualar os termos, observamos que:
-14 x^2 + g'(y) = -12 y + x y
Isso implica que:
g'(y) = -12 y + x y + 14 x^2
Mas para que isso seja válido para todos os x e y, o termo x y deve ser eliminado, o que não é possível. Portanto, precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 11

Vamos tentar uma substituição diferente. Observando as equações originais, notamos que podemos dividir as duas equações para obter:
dydx = y (-12 + x)x (32 - y2) = y(2x - 1)x(3 - y)
Agora, vamos reescrever essa equação como:
dydx = 2y x - y3x - x y
Simplificando:
dydx = y(2x - 1)x(3 - y)
Isso sugere que podemos separar as variáveis.

Passo 12

Vamos separar as variáveis y e x:
3 - yy (2x - 1) dy = 1x dx
Agora, integramos ambos os lados:
integral 3 - yy(2x - 1) dy = integral 1x dx

Passo 13

A integral do lado direito é simples:
integral 1x dx = ln|x| + C
Agora, precisamos resolver a integral do lado esquerdo. Para isso, vamos simplificar:
3 - yy(2x - 1) = 3y(2x - 1) - 12x - 1
Então:
integral ( 3y(2x - 1) - 12x - 1 ) dy = ln|x| + C

Passo 14

Integrando termo a termo:
3 integral 1y(2x - 1) dy - integral 12x - 1 dy = ln|x| + C
Assumindo que 2x - 1 é constante em relação a y, a integração resulta em:
32x - 1 ln|y| - y2x - 1 = ln|x| + C
Rearranjando:
32x - 1 ln|y| - ln|x| - y2x - 1 = C
Podemos multiplicar ambos os lados por 2x - 1 para simplificar:
3 ln|y| - (2x - 1) ln|x| - y = (2x - 1) C
Podemos absorver a constante em C, então temos:
3 ln|y| - (2x - 1) ln|x| - y = C'

Passo 15

Portanto, a função h(x, y) que satisfaz as condições é:
h(x, y) = 3 ln|y| - (2x - 1) ln|x| - y

Resposta

Assim, existe uma função h(x, y) dada por
h(x, y) = 3 ln|y| - (2x - 1) ln|x| - y
tal que as soluções do sistema são as curvas de nível dessa função, ou seja, h(x, y) = C, onde C é uma constante.

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