Considere o seguinte sistema que modela o comportamento de duas espécies
, a primeira sendo presa da segunda:
Resolva a equação diferencial do item anterior e deduza que existe uma função
tal que as soluções do sistema são as curvas de nível de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações diferenciais que modela o comportamento de duas espécies:
, que é a presa, e
, que é a predadora. O conteúdo aqui é sobre sistemas de equações diferenciais e como resolver para encontrar relações entre as variáveis. Para resolver esse sistema, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais autônomas e encontrar uma função que descreva as curvas de nível das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar o sistema de equações que temos:
Aqui,
e
representam as taxas de variação das populações das espécies ao longo do tempo.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar uma relação entre
e
que se mantém constante ao longo do tempo, ou seja, uma função
tal que
, onde
é uma constante. Isso significa que as trajetórias das populações no plano
são curvas de nível de
.
Passo 4
Para encontrar essa função
, podemos usar o método de separação de variáveis para sistemas de equações diferenciais. Vamos dividir a equação para
pela equação para
:
Passo 5
Simplificando a expressão acima:
Agora temos uma equação diferencial ordinária que relaciona
e
diretamente.
Passo 6
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a função
.
Passo 7
Integrando o lado esquerdo:
Aqui, vamos precisar de uma substituição ou decomposição fracionária para facilitar a integração. Mas, para simplificar, percebemos que essa integral pode ser complexa, então vamos buscar outra abordagem.
Passo 8
Outra maneira é encontrar uma função
tal que suas derivadas parciais se relacionem com as equações dadas. Ou seja:
Precisamos encontrar
que satisfaz essas condições.
Passo 9
Integrando
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que emerge da integração.
Passo 10
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
e igualamos a
:
Para igualar os termos, observamos que:
Isso implica que:
Mas para que isso seja válido para todos os
e
, o termo
deve ser eliminado, o que não é possível. Portanto, precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 11
Vamos tentar uma substituição diferente. Observando as equações originais, notamos que podemos dividir as duas equações para obter:
Agora, vamos reescrever essa equação como:
Simplificando:
Isso sugere que podemos separar as variáveis.
Passo 12
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 13
A integral do lado direito é simples:
Agora, precisamos resolver a integral do lado esquerdo. Para isso, vamos simplificar:
Então:
Passo 14
Integrando termo a termo:
Assumindo que
é constante em relação a
, a integração resulta em:
Rearranjando:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para simplificar:
Podemos absorver a constante em
, então temos:
Passo 15
Portanto, a função
que satisfaz as condições é:
Resposta
Assim, existe uma função
dada por
tal que as soluções do sistema são as curvas de nível dessa função, ou seja,
, onde
é uma constante.