Se lim x 0 x^2+2 ln (cos x)3 x^4=-1a, encontre o valor de a.

Passo 1

O problema pede calcular o limite
L=limxto0x^2+2ln(cos x)3x^4
e descobrir o valor de a tal que
L=-1a
Para resolver, vamos usar séries de Taylor para cos x e para ln(1+u), expandindo até termos de ordem x^4.

Passo 2

Começamos expandindo cos x em torno de zero:
cos x=1-x^22+x^424+O(x^6)
Definindo u=-tfracx^22+tfracx^424, usamos a expansão
ln(1+u)=u-u^22+O(u^3)

Passo 3

Substituindo u na fórmula de ln(1+u), obtemos
ln(cos x)=ln(1+u)=l(-x^22+x^424r)-12l(-x^22r)^2+O(x^6) = -x^22-x^412+O(x^6)

Passo 4

Agora calculamos o numerador:
x^2+2ln(cos x)=x^2+2l(-x^22-x^412+O(x^6)r)=-x^46+O(x^6)
Dividindo pelo denominador 3x^4
L=-tfracx^46+O(x^6)3x^4=-118+O(x^2)
e, portanto, L=-118.

Resposta

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