Considere a seguinte situação: Tubulação de PVC com coeficiente de atrito de Hazen-Williams, C=150 ; Vazão na entrada da tubulação de
; Vazão derivada ao longo de todo o percurso totaliza
. Essa vazão é obtida pelo somatório das vazões derivadas de modo uniforme ao longo de toda a canalização; O comprimento total da canalização é 180 m ; A perda de carga admissível é de 3 m ; Utilize a Equação de Hazen-Williams (
;
). Pede-se: Sabendo que os diâmetros comerciais disponíveis são 75 mm e 100 mm , associe dois trechos desses condutos em série. Calcule o comprimento de cada um desses trechos (L1 e L2).
Passo 1
O enunciado pede que a gente projete uma tubulação de PVC (C = 150) comprimento total L = 180 m, com vazão de entrada Q₀ = 10 L/s e retirada uniforme ao longo do trajeto de ΔQ = 5 L/s (ou seja, Q final Q_L = 5 L/s). A perda de carga total admissível é H = 3 m.
Conteúdo da matéria: Equação de Hazen-Williams com vazão variável ao longo do tubo. Vamos precisar:
Conteúdo da matéria: Equação de Hazen-Williams com vazão variável ao longo do tubo. Vamos precisar:
- A expressão de Hazen-Williams:
hf = 10.67·L·Qᵐ/(Cᵐ·Dⁿ), onde m=1.852 e n=4.871. - Reconhecer que, com retirada uniforme, a vazão ao longo do tubo é Q(x)=Q₀ – k·x, com k = (ΔQ)/L.
- Integrar hf = ∫₀ᴸ 10.67·Q(x)ᵐ/(Cᵐ·Dⁿ) dx para obter a perda de carga total em função de D e do ponto de mudança de diâmetro.
A partir do próximo passo, partimos para a resolução.
Passo 2
Definimos:
• Q₀ = 10 L/s = 0.01 m³/s;
• Q_L = 5 L/s = 0.005 m³/s;
• ΔQ = Q₀ – Q_L = 0.005 m³/s;
• k = ΔQ / L = 0.005/180 = 2.777…×10⁻⁵ (m³/s)/m;
• m = 1.852, m+1 = 2.852;
• C = 150.
Se o tubo é dividido em dois trechos em série, de comprimentos L₁ e L₂ = 180–L₁, e diâmetros D₁ e D₂, a perda de carga total é:
hf,total = ∫₀ᴸ₁ A₁·[Q(x)]ᵐ dx + ∫_{L₁}^{180} A₂·[Q(x)]ᵐ dx,
onde
Aᵢ = 10.67/(Cᵐ·Dᵢⁿ).
• Q₀ = 10 L/s = 0.01 m³/s;
• Q_L = 5 L/s = 0.005 m³/s;
• ΔQ = Q₀ – Q_L = 0.005 m³/s;
• k = ΔQ / L = 0.005/180 = 2.777…×10⁻⁵ (m³/s)/m;
• m = 1.852, m+1 = 2.852;
• C = 150.
Se o tubo é dividido em dois trechos em série, de comprimentos L₁ e L₂ = 180–L₁, e diâmetros D₁ e D₂, a perda de carga total é:
hf,total = ∫₀ᴸ₁ A₁·[Q(x)]ᵐ dx + ∫_{L₁}^{180} A₂·[Q(x)]ᵐ dx,
onde
Aᵢ = 10.67/(Cᵐ·Dᵢⁿ).
Passo 3
Calculamos a integral geral:
∫₀ᴸ [Q₀ – kx]ᵐ dx
= [ (Q₀)^{m+1} – (Q₀ – kL)^{m+1} ] / [k·(m+1)] .
Então,
hf,total = 10.67/(Cᵐ·(m+1)·k) ·
[ (Q₀^{m+1} – Q₁^{m+1})/D₁ⁿ + (Q₁^{m+1} – Q_L^{m+1})/D₂ⁿ ]
onde Q₁ = vazão na junção = Q₀ – k·L₁.
∫₀ᴸ [Q₀ – kx]ᵐ dx
= [ (Q₀)^{m+1} – (Q₀ – kL)^{m+1} ] / [k·(m+1)] .
Então,
hf,total = 10.67/(Cᵐ·(m+1)·k) ·
[ (Q₀^{m+1} – Q₁^{m+1})/D₁ⁿ + (Q₁^{m+1} – Q_L^{m+1})/D₂ⁿ ]
onde Q₁ = vazão na junção = Q₀ – k·L₁.
Passo 4
Substituindo valores numéricos:
m+1 = 2.852, k = 2.7778×10⁻⁵, Cᵐ = 150^{1.852} ≃ 1.0787×10⁴,
fator comum
F = 10.67/[Cᵐ·(m+1)·k] ≃ 12.47.
E as potências
Q₀^{2.852} = (0.01)^{2.852} ≃ 1.98×10⁻⁶,
Q_L^{2.852} = (0.005)^{2.852} ≃ 2.74×10⁻⁷.
Fica, então, a equação para hf,total = 3 m:
12.47 · [ (1/D₁ⁿ)·(1.98e–6 – Q₁^{2.852})
+ (1/D₂ⁿ)·(Q₁^{2.852} – 2.74e–7) ] = 3.
m+1 = 2.852, k = 2.7778×10⁻⁵, Cᵐ = 150^{1.852} ≃ 1.0787×10⁴,
fator comum
F = 10.67/[Cᵐ·(m+1)·k] ≃ 12.47.
E as potências
Q₀^{2.852} = (0.01)^{2.852} ≃ 1.98×10⁻⁶,
Q_L^{2.852} = (0.005)^{2.852} ≃ 2.74×10⁻⁷.
Fica, então, a equação para hf,total = 3 m:
12.47 · [ (1/D₁ⁿ)·(1.98e–6 – Q₁^{2.852})
+ (1/D₂ⁿ)·(Q₁^{2.852} – 2.74e–7) ] = 3.
Passo 5
Testamos a configuração lógica: diâmetro maior (100 mm) no trecho inicial e menor (75 mm) no trecho final, pois a vazão decresce.
Para D₁=0.10 m e D₂=0.075 m temos
1/D₁ⁿ = 1/(0.10^{4.871}) ≃ 7.4074×10⁴,
1/D₂ⁿ = 1/(0.075^{4.871}) ≃ 3.0030×10⁵.
Resolvendo a equação acima para Q₁^{2.852} obtemos
Q₁^{2.852} ≃ 7.79×10⁻⁷
⇒ Q₁ ≃ (7.79×10⁻⁷)^{1/2.852} ≃ 0.0072 m³/s = 7.2 L/s.
Logo
L₁ = (Q₀ – Q₁)/k = (0.01 – 0.0072)/(2.7778×10⁻⁵)
≃ 100.8 m,
L₂ = 180 – L₁ ≃ 79.2 m.
Para D₁=0.10 m e D₂=0.075 m temos
1/D₁ⁿ = 1/(0.10^{4.871}) ≃ 7.4074×10⁴,
1/D₂ⁿ = 1/(0.075^{4.871}) ≃ 3.0030×10⁵.
Resolvendo a equação acima para Q₁^{2.852} obtemos
Q₁^{2.852} ≃ 7.79×10⁻⁷
⇒ Q₁ ≃ (7.79×10⁻⁷)^{1/2.852} ≃ 0.0072 m³/s = 7.2 L/s.
Logo
L₁ = (Q₀ – Q₁)/k = (0.01 – 0.0072)/(2.7778×10⁻⁵)
≃ 100.8 m,
L₂ = 180 – L₁ ≃ 79.2 m.
Resposta
Use 100 mm nos primeiros L₁ ≃ 100.8 m (onde a vazão cai de 10 L/s a ≃7.2 L/s) e depois 75 mm nos L₂ ≃ 79.2 m finais (onde vai de 7.2 L/s a 5 L/s). Essas duas seções em série dão a perda de carga total de 3 m.