Considere a seguinte solução da equação
em
:
Essa resolução está correta? Por quê?
Dica: Tome X como uma matriz diagonal e veja o que acontece…
Dica: Tome X como uma matriz diagonal e veja o que acontece…
Passo 1
O que o enunciado pergunta e o que é dado.
- Pergunta: A resolução apresentada — que parte de
, fatoriza como e conclui que ou — está correta? Por quê? - Dado: estamos em
, o anel das matrizes reais. - Observação útil (dada na dica): tomar
diagonal e verificar o que acontece.
Passo 2
Entendendo a fatoração e onde a lógica falha.
- Em álgebra de escalares (por exemplo em
), se então ou . Por isso, para números reais, de concluímos ou . - Em
(o conjunto das matrizes), vale a mesma fatoração formal:
- Porém, em
o fato de o produto de duas matrizes ser a matriz zero não implica que uma das matrizes fator seja a matriz zero. Ou seja, existem divisores de zero: matrizes não nulas com . Portanto a inferência "se então ou " não é válida nas matrizes.
Passo 3
Construindo um contraexemplo simples usando matrizes diagonais (seguindo a dica).
- Tome
diagonal. Escrevendo
a equação
força que cada entrada diagonal satisfaça
,
,
. Logo
.
- Assim existem muitas matrizes diagonais com quadrado igual a
que não são nem nem : por exemplo, escolher sinais diferentes nas entradas.
Passo 4
Exemplo explícito e cálculo que mostra a falha da conclusão.
- Considere
- Calcula-se diretamente
mas claramente
e
.
- Verificando a fatoração:
O produto é
ou seja,
com ambos os fatores não nulos. Isso contradiz a conclusão “um dos fatores é zero”, mostrando que a resolução original está errada.
Passo 5
Interpretação e descrição correta das soluções de
.
- A condição
diz que é uma involução. Ela implica que todo autovalor de satisfaz , logo . - Em particular, qualquer matriz semelhante a
(com ) satisfaz . Isso inclui (caso ), (caso ) e muitas outras (por exemplo reflexões, matrizes diagonais com sinais mistas, etc.). - Resumindo: as soluções em
não se reduzem apenas a ; há uma família maior de involuções.
Passo 6
Conclusão resumida e incentivo.
- A inferência usada na resolução original é inválida por causa de divisores de zero em
. Existe uma infinidade de soluções além de ; um contraexemplo concreto é , que satisfaz mas não é . - Vai dar certo no estudo: sempre cheque se propriedades de números (domínios integrais) continuam válidas em anéis não comutativos como
. Isso evita armadilhas como esta. Força! 😃
Resposta
Não. Por exemplo,
satisfaz
mas
e
; assim
não implica que um dos fatores seja zero em
.