Considere a seguinte solução da equação X^{2}=I_{3} em M_{3}(\mathbb{R}) :
X^{2}=I_{3} \Longleftrightarrow X^{2}-I_{3}=0 \Longleftrightarrow X^{2}-I_{3}^{2}=\left(X-I_{3}\right)\left(X+I_{3}\right)=0 \Longleftrightarrow X=I_{3} \text { ou } X=-I_{3}
Essa resolução está correta? Por quê?
Dica: Tome X como uma matriz diagonal e veja o que acontece…

Passo 1

O que o enunciado pergunta e o que é dado.
  • Pergunta: A resolução apresentada — que parte de X^{2}=I_{3}, fatoriza como (X-I_{3})(X+I_{3})=0 e conclui que X=I_{3} ou X=-I_{3} — está correta? Por quê?
  • Dado: estamos em M_{3}(\mathbb{R}), o anel das matrizes 3\times3 reais.
  • Observação útil (dada na dica): tomar X diagonal e verificar o que acontece.

Passo 2

Entendendo a fatoração e onde a lógica falha.
  • Em álgebra de escalares (por exemplo em \mathbb{R}), se ab=0 então a=0 ou b=0. Por isso, para números reais, de (x-1)(x+1)=0 concluímos x=1 ou x=-1.
  • Em M_{3}(\mathbb{R}) (o conjunto das matrizes), vale a mesma fatoração formal:
X^{2}-I_{3}=(X-I_{3})(X+I_{3}).
  • Porém, em M_{3}(\mathbb{R}) o fato de o produto de duas matrizes ser a matriz zero não implica que uma das matrizes fator seja a matriz zero. Ou seja, existem divisores de zero: matrizes não nulas A,B com AB=0. Portanto a inferência "se (X-I_{3})(X+I_{3})=0 então X-I_{3}=0 ou X+I_{3}=0" não é válida nas matrizes.

Passo 3

Construindo um contraexemplo simples usando matrizes diagonais (seguindo a dica).
  • Tome X diagonal. Escrevendo
X=\operatorname{diag}(a,b,c),
a equação X^{2}=I_{3} força que cada entrada diagonal satisfaça a^{2}=1, b^{2}=1, c^{2}=1. Logo a,b,c\in\{1,-1\}.
  • Assim existem muitas matrizes diagonais com quadrado igual a I_{3} que não são nem I_{3} nem -I_{3}: por exemplo, escolher sinais diferentes nas entradas.

Passo 4

Exemplo explícito e cálculo que mostra a falha da conclusão.
  • Considere
X=\operatorname{diag}(1,-1,-1).
  • Calcula-se diretamente
X^{2}=\operatorname{diag}(1^{2},(-1)^{2},(-1)^{2})=\operatorname{diag}(1,1,1)=I_{3},
mas claramente X\neq I_{3} e X\neq -I_{3}.
  • Verificando a fatoração:
X-I_{3}=\operatorname{diag}(0,-2,-2),\qquad X+I_{3}=\operatorname{diag}(2,0,0).
O produto é
(X-I_{3})(X+I_{3})=\operatorname{diag}(0\cdot2,(-2)\cdot0,(-2)\cdot0)=\operatorname{diag}(0,0,0)=0_{3},
ou seja, (X-I_{3})(X+I_{3})=0_{3} com ambos os fatores não nulos. Isso contradiz a conclusão “um dos fatores é zero”, mostrando que a resolução original está errada.

Passo 5

Interpretação e descrição correta das soluções de X^{2}=I_{3}.
  • A condição X^{2}=I_{3} diz que X é uma involução. Ela implica que todo autovalor \lambda de X satisfaz \lambda^{2}=1, logo \lambda\in\{1,-1\}.
  • Em particular, qualquer matriz semelhante a \operatorname{diag}(I_{k},-I_{3-k}) (com k=0,1,2,3) satisfaz X^{2}=I_{3}. Isso inclui I_{3} (caso k=3), -I_{3} (caso k=0) e muitas outras (por exemplo reflexões, matrizes diagonais com sinais mistas, etc.).
  • Resumindo: as soluções em M_{3}(\mathbb{R}) não se reduzem apenas a \pm I_{3}; há uma família maior de involuções.

Passo 6

Conclusão resumida e incentivo.
  • A inferência usada na resolução original é inválida por causa de divisores de zero em M_{3}(\mathbb{R}). Existe uma infinidade de soluções além de \pm I_{3}; um contraexemplo concreto é X=\operatorname{diag}(1,-1,-1), que satisfaz X^{2}=I_{3} mas não é \pm I_{3}.
  • Vai dar certo no estudo: sempre cheque se propriedades de números (domínios integrais) continuam válidas em anéis não comutativos como M_{n}(\mathbb{R}). Isso evita armadilhas como esta. Força! 😃

Resposta

Não. Por exemplo, X=\operatorname{diag}(1,-1,-1) satisfaz X^{2}=I_{3} mas X\neq I_{3} e X\neq -I_{3}; assim (X-I_{3})(X+I_{3})=0 não implica que um dos fatores seja zero em M_{3}(\mathbb{R}).

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