Sejam A um conjunto não vazio e \mathbb{R}^{A} o conjunto das aplicações de A em \mathbb{R}. Definimos a adição e multiplicação em \mathbb{R}^{A} como
\begin{aligned} (f+g)(x) & =f(x)+g(x), \quad \forall x \in A \\\ (f g)(x) & =f(x) g(x), \quad \forall x \in A \end{aligned}
Mostre que \mathbb{R}^{A} é anel comutativo com identidade. Quem são os elementos invertíveis desse anel?

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Um conjunto não vazio A.
  • O conjunto \mathbb{R}^{A} das aplicações f\colon A\to\mathbb{R}.
  • As operações em \mathbb{R}^{A} definidas ponto a ponto: (f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (f g)(x)=f(x)g(x),\quad\forall x\in A.
O que é pedido:
  1. Mostrar que \mathbb{R}^{A} é um anel comutativo com identidade (ou seja, verificar os axiomas de anel e que a multiplicação é comutativa e tem elemento neutro).
  2. Descrever quais são os elementos invertíveis (unidades) desse anel.

Passo 2

Primeiro vou lembrar de forma bem simples o que precisa ser verificado para um conjunto com duas operações ser um anel comutativo com identidade:
  • Sob adição: fechamento, associatividade, elemento neutro (zero), inversos aditivos e comutatividade — ou seja, formar um grupo abeliano.
  • Sob multiplicação: fechamento, associatividade e comutatividade.
  • Distributividade da multiplicação sobre a adição (ambos os lados).
  • Existência de elemento neutro multiplicativo (identidade).
    Vou verificar cada propriedade em \mathbb{R}^{A} usando que os reais \mathbb{R} já têm todas essas propriedades; aqui tudo se aplica ponto a ponto.

Passo 3

Fechamento das operações e definição explícita dos elementos especiais.
  • Se f,g\in\mathbb{R}^{A}, então para todo x\in A tem-se f(x)+g(x)\in\mathbb{R} e f(x)g(x)\in\mathbb{R}. Assim as aplicações f+g e fg estão bem definidas e pertencem a \mathbb{R}^{A}. Ou seja, há fechamento.
  • Definir a função nula \mathbf{0}\in\mathbb{R}^{A} por \mathbf{0}(x)=0 para todo x\in A.
  • Definir a função identidade multiplicativa \mathbf{1}\in\mathbb{R}^{A} por \mathbf{1}(x)=1 para todo x\in A.

Passo 4

Propriedades aditivas: associatividade e comutatividade da adição.
  • Para associatividade: para f,g,h\in\mathbb{R}^{A} e todo x\in A, \bigl((f+g)+h\bigr)(x) = (f+g)(x)+h(x) = \bigl(f(x)+g(x)\bigr)+h(x).Como a adição em \mathbb{R} é associativa, \bigl(f(x)+g(x)\bigr)+h(x)=f(x)+\bigl(g(x)+h(x)\bigr). Portanto \bigl((f+g)+h\bigr)(x)=\bigl(f+(g+h)\bigr)(x)para todo x, o que implica (f+g)+h=f+(g+h).
  • Para comutatividade: similarmente, (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x),logo f+g=g+f.

Passo 5

Elemento neutro aditivo e inversos aditivos.
  • Neutro aditivo: para todo f\in\mathbb{R}^{A} e todo x\in A, (f+\mathbf{0})(x)=f(x)+\mathbf{0}(x)=f(x)+0=f(x),logo f+\mathbf{0}=f.
  • Inverso aditivo: para f\in\mathbb{R}^{A} defina (-f)\in\mathbb{R}^{A} por (-f)(x)=-f(x). Então (f+(-f))(x)=f(x)+(-f(x))=0=\mathbf{0}(x),logo f+(-f)=\mathbf{0}. Assim todo elemento tem inverso aditivo.

Passo 6

Concluir que (\mathbb{R}^{A},+) é um grupo abeliano.
Das propriedades dos passos anteriores (fechamento, associatividade, elemento neutro \mathbf{0}, inversos aditivos e comutatividade) segue que (\mathbb{R}^{A},+) é um grupo abeliano.

Passo 7

Propriedades multiplicativas: associatividade e comutatividade da multiplicação.
  • Associatividade: para f,g,h\in\mathbb{R}^{A} e todo x\in A, \bigl((fg)h\bigr)(x) = (fg)(x)\,h(x) = \bigl(f(x)g(x)\bigr)h(x).Como a multiplicação em \mathbb{R} é associativa, \bigl(f(x)g(x)\bigr)h(x)=f(x)\bigl(g(x)h(x)\bigr). Portanto (fg)h=f(gh).
  • Comutatividade: (fg)(x)=f(x)g(x)=g(x)f(x)=(gf)(x),logo fg=gf.

Passo 8

Elemento neutro multiplicativo.
  • Para todo f\in\mathbb{R}^{A} e todo x\in A, (f\mathbf{1})(x)=f(x)\mathbf{1}(x)=f(x)\cdot 1=f(x),portanto f\mathbf{1}=f. Assim \mathbf{1} é a identidade multiplicativa.

Passo 9

Distributividade da multiplicação sobre a adição.
  • Para f,g,h\in\mathbb{R}^{A} e todo x\in A, \bigl(f(g+h)\bigr)(x)=f(x)\,(g+h)(x)=f(x)\bigl(g(x)+h(x)\bigr).Pela distributividade em \mathbb{R}, f(x)\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=f(x)g(x)+f(x)h(x)=(fg)(x)+(fh)(x)=\bigl(fg+fh\bigr)(x).Logo f(g+h)=fg+fh. O outro lado distributivo (g+h)f=gf+hf segue da comutatividade da multiplicação.

Passo 10

Conclusão: \mathbb{R}^{A} é um anel comutativo com identidade.
Das propriedades dos passos anteriores segue que \mathbb{R}^{A}, com as operações ponto a ponto dadas, satisfaz todos os axiomas de um anel comutativo que possui elemento neutro multiplicativo \mathbf{1}.

Passo 11

Caracterização dos elementos invertíveis (unidades).
Vou mostrar primeiro uma condição necessária e depois que essa condição é suficiente.
  • Necessidade: se f\in\mathbb{R}^{A} é invertível no anel, existe g\in\mathbb{R}^{A} tal que fg=\mathbf{1}. Para todo x\in A vale (fg)(x)=f(x)g(x)=\mathbf{1}(x)=1.Assim para cada x temos f(x)g(x)=1, o que implica em particular que f(x)\neq 0 para todo x\in A. Portanto, se f é invertível então f(x)\neq 0 para todo x\in A (diz-se que f é “nunca nula” ou “sem zeros”).
  • Suficiência: suponha que f\in\mathbb{R}^{A} satisfaça f(x)\neq 0 para todo x\in A. Defina g\in\mathbb{R}^{A} ponto a ponto por g(x)=\frac{1}{f(x)},\qquad\forall x\in A.Essa definição é bem feita porque cada f(x) é diferente de zero. Então para todo x\in A (fg)(x)=f(x)g(x)=f(x)\frac{1}{f(x)}=1=\mathbf{1}(x),portanto fg=\mathbf{1}. Assim g é inversa de f, mostrando que f é invertível.
  • Unicidade do inverso: se g e h são inversos de f, então g= g\mathbf{1}=g(fh)=(gf)h=\mathbf{1}h=h. Assim o inverso é único.

Passo 12

Descrição final e observações.
  • Portanto os elementos invertíveis de \mathbb{R}^{A} são exatamente as funções f\in\mathbb{R}^{A} tais que f(x)\neq 0 para todo x\in A. Para cada tal f a inversa multiplicativa é a função f^{-1} dada por f^{-1}(x)=1/f(x).
  • Nota: o conjunto das unidades forma um grupo abeliano sob multiplicação; as funções que têm pelo menos um zero (isto é, existe x com f(x)=0) não são invertíveis.

Resposta

\mathbb{R}^{A} é um anel comutativo com identidade \mathbf{1} dada por \mathbf{1}(x)=1 para todo x\in A.\nAs funções invertíveis (unidades) são exatamente as f\in\mathbb{R}^{A} tais que f(x)\neq0 para todo x\in A; a inversa de tal f é f^{-1} definida por f^{-1}(x)=1/f(x) para todo x\in A.

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