Sejam
um conjunto não vazio e
o conjunto das aplicações de
em
. Definimos a adição e multiplicação em
como
Mostre que
é anel comutativo com identidade. Quem são os elementos invertíveis desse anel?
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Um conjunto não vazio
. - O conjunto
das aplicações . - As operações em
definidas ponto a ponto:
O que é pedido:
- Mostrar que
é um anel comutativo com identidade (ou seja, verificar os axiomas de anel e que a multiplicação é comutativa e tem elemento neutro). - Descrever quais são os elementos invertíveis (unidades) desse anel.
Passo 2
Primeiro vou lembrar de forma bem simples o que precisa ser verificado para um conjunto com duas operações ser um anel comutativo com identidade:
- Sob adição: fechamento, associatividade, elemento neutro (zero), inversos aditivos e comutatividade — ou seja, formar um grupo abeliano.
- Sob multiplicação: fechamento, associatividade e comutatividade.
- Distributividade da multiplicação sobre a adição (ambos os lados).
- Existência de elemento neutro multiplicativo (identidade).
Vou verificar cada propriedade emusando que os reais já têm todas essas propriedades; aqui tudo se aplica ponto a ponto.
Passo 3
Fechamento das operações e definição explícita dos elementos especiais.
- Se
, então para todo tem-se e . Assim as aplicações e estão bem definidas e pertencem a . Ou seja, há fechamento. - Definir a função nula
por para todo . - Definir a função identidade multiplicativa
por para todo .
Passo 4
Propriedades aditivas: associatividade e comutatividade da adição.
- Para associatividade: para
e todo , Como a adição em é associativa, . Portanto para todo , o que implica . - Para comutatividade: similarmente,
logo .
Passo 5
Elemento neutro aditivo e inversos aditivos.
- Neutro aditivo: para todo
e todo , logo . - Inverso aditivo: para
defina por . Então logo . Assim todo elemento tem inverso aditivo.
Passo 6
Concluir que
é um grupo abeliano.
Das propriedades dos passos anteriores (fechamento, associatividade, elemento neutro , inversos aditivos e comutatividade) segue que
é um grupo abeliano.
Das propriedades dos passos anteriores (fechamento, associatividade, elemento neutro
Passo 7
Propriedades multiplicativas: associatividade e comutatividade da multiplicação.
- Associatividade: para
e todo , Como a multiplicação em é associativa, . Portanto . - Comutatividade:
logo .
Passo 8
Elemento neutro multiplicativo.
- Para todo
e todo , portanto . Assim é a identidade multiplicativa.
Passo 9
Distributividade da multiplicação sobre a adição.
- Para
e todo , Pela distributividade em , Logo . O outro lado distributivo segue da comutatividade da multiplicação.
Passo 10
Conclusão:
é um anel comutativo com identidade.
Das propriedades dos passos anteriores segue que , com as operações ponto a ponto dadas, satisfaz todos os axiomas de um anel comutativo que possui elemento neutro multiplicativo
.
Das propriedades dos passos anteriores segue que
Passo 11
Caracterização dos elementos invertíveis (unidades).
Vou mostrar primeiro uma condição necessária e depois que essa condição é suficiente.
Vou mostrar primeiro uma condição necessária e depois que essa condição é suficiente.
- Necessidade: se
é invertível no anel, existe tal que . Para todo vale Assim para cada temos , o que implica em particular que para todo . Portanto, se é invertível então para todo (diz-se que é “nunca nula” ou “sem zeros”). - Suficiência: suponha que
satisfaça para todo . Defina ponto a ponto por Essa definição é bem feita porque cada é diferente de zero. Então para todo portanto . Assim é inversa de , mostrando que é invertível. - Unicidade do inverso: se
e são inversos de , então . Assim o inverso é único.
Passo 12
Descrição final e observações.
- Portanto os elementos invertíveis de
são exatamente as funções tais que para todo . Para cada tal a inversa multiplicativa é a função dada por . - Nota: o conjunto das unidades forma um grupo abeliano sob multiplicação; as funções que têm pelo menos um zero (isto é, existe
com ) não são invertíveis.