Sejam R e S anéis. Mostre que o produto direto R \times S cujas operações são definidas em cada componente é anel. Prove que \mathrm{R} \times \mathrm{S} é comutativo se, e somente se, R e S são comutativos. Prove, também, que \mathrm{R} \times \mathrm{S} tem identidade se, e somente se, ambos anéis R e S possuem identidade.

Passo 1

O enunciado dá dois anéis R e S e define o conjunto produto
R\times S=\{(r,s)\mid r\in R,\\ s\in S\}
com as operações definidas componente a componente:
(r,s)+(r',s')=(r+r',\,s+s'), \qquad (r,s)\cdot(r',s')=(r r',\, s s').
O que devemos provar, em partes claras:
  • Mostrar que R\times S com essas operações é um anel (isto é, que satisfaz os axiomas de anel).
  • Mostrar que R\times S é comutativo se, e somente se, R e S são comutativos.
  • Mostrar que R\times S tem identidade multiplicativa se, e somente se, ambos R e S possuem identidade multiplicativa.

Passo 2

Lembrete das propriedades que preciso verificar para que R\times S seja um anel:
  1. (R\times S,+) é um grupo abeliano: precisa fechar sob soma, ter associatividade, elemento neutro aditivo e inversos e comutatividade.
  2. A multiplicação é fechada e associativa em R\times S.
  3. A multiplicação distribui sobre a adição (ambas as distribuições, à esquerda e à direita).
    Vou checar cada item, usando que R e S já satisfazem essas propriedades.

Passo 3

Verificando que (R\times S,+) é um grupo abeliano.
  • Fechamento: para quaisquer (r,s),(r',s')\in R\times S tem-se
    (r,s)+(r',s')=(r+r',\,s+s').
    Como r+r'\in R e s+s'\in S (fechamento em R e S), então (r+r',s+s')\in R\times S.
  • Associatividade da soma: para quaisquer (r,s),(r',s'),(r'',s''),
    \big((r,s)+(r',s')\big)+(r'',s'')=(r+r'+r'',\,s+s'+s''),
    e
    (r,s)+\big((r',s')+(r'',s'')\big)=(r+r'+r'',\,s+s'+s'').
    Essas duas expressões coincidem porque a soma é associativa em R e em S.
  • Elemento neutro aditivo: como R e S têm neutros aditivos 0_R e 0_S, definir 0_{R\times S}=(0_R,0_S). Então
    (r,s)+(0_R,0_S)=(r+0_R,\,s+0_S)=(r,s).
  • Inversos: para (r,s) o inverso aditivo é (-r,-s) porque
    (r,s)+(-r,-s)=(r-r,\,s-s)=(0_R,0_S).
  • Comutatividade da soma: (r,s)+(r',s')=(r+r',\,s+s')=(r'+r,\,s'+s')=(r',s')+(r,s) pois a soma em R e S é comutativa.
Logo (R\times S,+) é um grupo abeliano.

Passo 4

Fechamento e associatividade da multiplicação em R\times S.
  • Fechamento: para quaisquer (r,s),(r',s')\in R\times S,
    (r,s)\cdot(r',s')=(r r',\, s s').
    Como r r'\in R e s s'\in S, então o produto pertence a R\times S.
  • Associatividade: para quaisquer (r,s),(r',s'),(r'',s''),
    \big((r,s)\cdot(r',s')\big)\cdot(r'',s'')=((r r')r'',\, (s s')s''),
    e
    (r,s)\cdot\big((r',s')\cdot(r'',s'')\big)=(r(r' r''),\, s(s' s'')).
    Como a multiplicação é associativa em R e em S, temos (r r')r''=r(r' r'') e (s s')s''=s(s' s''), portanto a multiplicação em R\times S é associativa.

Passo 5

Verificando as leis distributivas.
Para quaisquer (r,s),(r',s'),(r'',s'')\in R\times S calculo a distribuição à esquerda:
(r,s)\big((r',s')+(r'',s'')\big)=(r,s)(r'+r'',\,s'+s'')=(r(r'+r''),\, s(s'+s'')).
Pelo caráter distributivo em R e S,
r(r'+r'')=rr'+rr'',\qquad s(s'+s'')=ss'+ss'',
então
(r,s)\big((r',s')+(r'',s'')\big)=(rr'+rr'',\, ss'+ss'')=(r,s)(r',s')+(r,s)(r'',s'').
A distribuição à direita é análoga:
\big((r',s')+(r'',s'')\big)(r,s)=(r'r+r''r,\, s's+s''s)=(r',s')(r,s)+(r'',s'')(r,s).
Portanto as duas leis distributivas valem em R\times S.

Passo 6

Conclusão parcial: como (R\times S,+) é grupo abeliano, a multiplicação é associativa, fechada e satisfaz as leis distributivas, concluímos que R\times S é um anel com as operações definidas componente a componente.

Passo 7

Prova da equivalência de comutatividade.
  • Direção direta: se R e S são comutativos, então para quaisquer (r,s),(r',s')\in R\times S
    (r,s)(r',s')=(r r',\, s s')=(r' r,\, s' s)=(r',s')(r,s),
    portanto R\times S é comutativo.
  • Direção inversa: suponha que R\times S seja comutativo. Para mostrar que R é comutativo, tome quaisquer r,r'\in R e considere os elementos (r,0_S),(r',0_S)\in R\times S. Pela comutatividade do produto:
    (r,0_S)(r',0_S)=(r',0_S)(r,0_S).
    Calculando ambos os lados:
    (r r',\, 0_S\cdot0_S)=(r' r,\, 0_S\cdot0_S).
    Assim r r'=r' r. Como r,r' eram arbitrários, R é comutativo. Analogamente, usando pares (0_R,s) e (0_R,s'), conclui-se que S é comutativo. Portanto, se R\times S é comutativo então R e S são comutativos.

Passo 8

Prova da equivalência sobre existência de identidade multiplicativa.
  • Direção direta: suponha que R e S possuem identidades multiplicativas 1_R e 1_S. Defina 1_{R\times S}=(1_R,1_S). Para qualquer (r,s)\in R\times S,
    (1_R,1_S)(r,s)=(1_R r,\,1_S s)=(r,s)
    e
    (r,s)(1_R,1_S)=(r1_R,\, s1_S)=(r,s).
    Assim (1_R,1_S) é identidade (à esquerda e à direita) em R\times S.
  • Direção inversa: suponha que R\times S tem identidade e=(e_R,e_S). Então, para todo r\in R, considere (r,0_S)\in R\times S. Como e é identidade,
    e\cdot(r,0_S)=(r,0_S).
    Calculando componentes:
    (e_R r,\, e_S 0_S)=(r,0_S).
    Da igualdade de componentes obtemos e_R r=r para todo r\in R. Tomando (r,0_S)\cdot e=(r,0_S) também obtemos r e_R=r. Portanto e_R é identidade em R. De modo análogo, usando elementos (0_R,s), obtemos que e_S é identidade em S. Assim, se R\times S possui identidade então ambos R e S possuem identidade, e os componentes dessa identidade do produto são as identidades de R e S.

Resposta

R\times S é um anel com as operações definidas componente a componente.
R\times S é comutativo se, e somente se, R e S são comutativos.
R\times S tem identidade multiplicativa se, e somente se, ambos R e S possuem identidade; nesse caso a identidade é (1_R,1_S).

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