Sejam R e
anéis. Mostre que o produto direto
cujas operações são definidas em cada componente é anel. Prove que
é comutativo se, e somente se, R e S são comutativos. Prove, também, que
tem identidade se, e somente se, ambos anéis R e S possuem identidade.
Passo 1
O enunciado dá dois anéis
e
e define o conjunto produto
com as operações definidas componente a componente:
O que devemos provar, em partes claras:
- Mostrar que
com essas operações é um anel (isto é, que satisfaz os axiomas de anel). - Mostrar que
é comutativo se, e somente se, e são comutativos. - Mostrar que
tem identidade multiplicativa se, e somente se, ambos e possuem identidade multiplicativa.
Passo 2
Lembrete das propriedades que preciso verificar para que
seja um anel:
-
é um grupo abeliano: precisa fechar sob soma, ter associatividade, elemento neutro aditivo e inversos e comutatividade. - A multiplicação é fechada e associativa em
. - A multiplicação distribui sobre a adição (ambas as distribuições, à esquerda e à direita).
Vou checar cada item, usando quee já satisfazem essas propriedades.
Passo 3
Verificando que
é um grupo abeliano.
-
Fechamento: para quaisquer
tem-se Comoe (fechamento em e ), então . -
Associatividade da soma: para quaisquer
, eEssas duas expressões coincidem porque a soma é associativa eme em . -
Elemento neutro aditivo: como
e têm neutros aditivos e , definir . Então -
Inversos: para
o inverso aditivo é porque -
Comutatividade da soma:
pois a soma em e é comutativa.
Logo
é um grupo abeliano.
Passo 4
Fechamento e associatividade da multiplicação em
.
-
Fechamento: para quaisquer
, Comoe , então o produto pertence a . -
Associatividade: para quaisquer
, eComo a multiplicação é associativa eme em , temos e , portanto a multiplicação em é associativa.
Passo 5
Verificando as leis distributivas.
Para quaisquer
calculo a distribuição à esquerda:
Pelo caráter distributivo em
e
,
então
A distribuição à direita é análoga:
Portanto as duas leis distributivas valem em
.
Passo 6
Conclusão parcial: como
é grupo abeliano, a multiplicação é associativa, fechada e satisfaz as leis distributivas, concluímos que
é um anel com as operações definidas componente a componente.
Passo 7
Prova da equivalência de comutatividade.
-
Direção direta: se
e são comutativos, então para quaisquer portantoé comutativo. -
Direção inversa: suponha que
seja comutativo. Para mostrar que é comutativo, tome quaisquer e considere os elementos . Pela comutatividade do produto: Calculando ambos os lados:Assim. Como eram arbitrários, é comutativo. Analogamente, usando pares e , conclui-se que é comutativo. Portanto, se é comutativo então e são comutativos.
Passo 8
Prova da equivalência sobre existência de identidade multiplicativa.
-
Direção direta: suponha que
e possuem identidades multiplicativas e . Defina . Para qualquer , eAssimé identidade (à esquerda e à direita) em . -
Direção inversa: suponha que
tem identidade . Então, para todo , considere . Como é identidade, Calculando componentes:Da igualdade de componentes obtemospara todo . Tomando também obtemos . Portanto é identidade em . De modo análogo, usando elementos , obtemos que é identidade em . Assim, se possui identidade então ambos e possuem identidade, e os componentes dessa identidade do produto são as identidades de e .