Exiba uma base para cada um dos espaços dados a seguir.
Passo 1
O enunciado pede que eu exiba uma base para o espaço
Informações relevantes fornecidas:
-
é um subconjunto de . - A condição que define
é . - A tarefa é encontrar um conjunto de vetores que forme uma base de
.
Passo 2
Descrever genericamente um vetor de
. Como
, chamo esse valor comum de
. Assim um vetor arbitrário de
tem a forma
Aqui expliquei passo a passo: escolha
e, pela condição, os demais componentes são iguais a
.
Passo 3
Mostrar que todo vetor de
é múltiplo escalar de um mesmo vetor. Reescrevo
como múltiplo de
:
Isto demonstra que todo vetor de
pertence ao subespaço gerado por
, ou seja,
Também vale a inclusão inversa porque qualquer múltiplo de
tem todas as coordenadas iguais, logo
Conclui-se que
Passo 4
Mostrar que
é linearmente independente (portanto é um candidato válido a base). A definição: um conjunto com um vetor
é linearmente independente se a única solução de
é
. Aqui, suponha
Isso implica componente a componente que
. Portanto
é linearmente independente.
Passo 5
Juntando os resultados:
gera
(Passo 3) e é linearmente independente (Passo 4). Logo
é uma base de
. Como observação extra útil na prova: a dimensão de
é
. Também qualquer vetor não nulo colinear com
, por exemplo
, também forma uma base singleton para
.