Exiba uma base para cada um dos espaços dados a seguir.
F=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) ; x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}\right\} \subset \Re^{4}

Passo 1

O enunciado pede que eu exiba uma base para o espaço
F=\left\{\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4}\;;\;x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}\right\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • F é um subconjunto de \mathbb{R}^{4}.
  • A condição que define F é x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}.
  • A tarefa é encontrar um conjunto de vetores que forme uma base de F.

Passo 2

Descrever genericamente um vetor de F. Como x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}, chamo esse valor comum de t\in\mathbb{R}. Assim um vetor arbitrário de F tem a forma
\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=(t,t,t,t).
Aqui expliquei passo a passo: escolha t=x_{1} e, pela condição, os demais componentes são iguais a t.

Passo 3

Mostrar que todo vetor de F é múltiplo escalar de um mesmo vetor. Reescrevo (t,t,t,t) como múltiplo de (1,1,1,1):
(t,t,t,t)=t\,(1,1,1,1).
Isto demonstra que todo vetor de F pertence ao subespaço gerado por (1,1,1,1), ou seja,
F\subseteq\operatorname{span}\{(1,1,1,1)\}.
Também vale a inclusão inversa porque qualquer múltiplo de (1,1,1,1) tem todas as coordenadas iguais, logo
\operatorname{span}\{(1,1,1,1)\}\subseteq F.
Conclui-se que
F=\operatorname{span}\{(1,1,1,1)\}.

Passo 4

Mostrar que (1,1,1,1) é linearmente independente (portanto é um candidato válido a base). A definição: um conjunto com um vetor v é linearmente independente se a única solução de \alpha v=0 é \alpha=0. Aqui, suponha
\alpha(1,1,1,1)=(0,0,0,0).
Isso implica componente a componente que \alpha=0. Portanto (1,1,1,1) é linearmente independente.

Passo 5

Juntando os resultados: (1,1,1,1) gera F (Passo 3) e é linearmente independente (Passo 4). Logo \{(1,1,1,1)\} é uma base de F. Como observação extra útil na prova: a dimensão de F é 1. Também qualquer vetor não nulo colinear com (1,1,1,1), por exemplo (2,2,2,2), também forma uma base singleton para F.

Resposta

\{(1,1,1,1)\}

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