Encontre uma base e a dimensão do subespaço W de R^{4}, onde W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in R^{4} ; x_{1}-2 x_{2}=\right. 0 e \left.x_{1}-3 x_{2}+x_{4}=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço \displaystyle W=\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^4\mid x_{1}-2x_{2}=0,\;x_{1}-3x_{2}+x_{4}=0\}.
Aqui vamos resolver o sistema linear imposto, parametrizar as soluções e extrair uma base.

Passo 2

Das equações
\begin{cases} x_{1}-2x_{2}=0,\\\ x_{1}-3x_{2}+x_{4}=0, \end{cases}
da primeira vem
x_{1}=2x_{2}.
Substituindo em x_{1}-3x_{2}+x_{4}=0 obtemos
2x_{2}-3x_{2}+x_{4}=0 \quad\implies\quad -\,x_{2}+x_{4}=0 \quad\implies\quad x_{4}=x_{2}.

Passo 3

Como não há restrição sobre x_{3}, escolhemos
x_{2}=s,\quad x_{3}=t,
com s,t\in\mathbb{R}. Então
x_{1}=2s, \quad x_{2}=s, \quad x_{3}=t, \quad x_{4}=s.

Passo 4

Escrevendo o vetor genérico em função de s e t,
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) =(2s,s,t,s) =s\,(2,1,0,1)+t\,(0,0,1,0).
Logo uma base natural de W é dada pelos vetores (2,1,0,1) e (0,0,1,0) e há dois parâmetros independentes.

Resposta

Uma base de W é
\{(2,1,0,1),\,(0,0,1,0)\},
e a dimensão de W é 2.

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