Encontre uma base para o subespaço W=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbf{R}) ; A^{t}=-A\right\}.
Passo 1
O enunciado pede uma base para o subespaço W\subset M_{2\times2}(\mathbf{R}) formado por matrizes anti-simétricas, ou seja, que satisfaçam A^{t}=-A. Para resolver, vamos escrever uma matriz genérica de ordem 2, impor a condição A^{t}=-A e extrair o parâmetro livre que gera todo o espaço.
Passo 2
Seja
A = \begin{pmatrix}a & b \\[6pt] c & d\end{pmatrix}.
A condição A^{t}=-A dá
\begin{pmatrix}a & c \\[4pt] b & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-a & -b \\[4pt] -c & -d\end{pmatrix}.