Encontre uma base para o subespaço W=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbf{R}) ; A^{t}=-A\right\}.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço W\subset M_{2\times2}(\mathbf{R}) formado por matrizes anti-simétricas, ou seja, que satisfaçam A^{t}=-A. Para resolver, vamos escrever uma matriz genérica de ordem 2, impor a condição A^{t}=-A e extrair o parâmetro livre que gera todo o espaço.

Passo 2

Seja
A = \begin{pmatrix}a & b \\[6pt] c & d\end{pmatrix}.
A condição A^{t}=-A
\begin{pmatrix}a & c \\[4pt] b & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-a & -b \\[4pt] -c & -d\end{pmatrix}.
Comparando entradas, vemos
a=-a,\quad d=-d,\quad c=-b,\quad b=-c.
Isso implica a=0, d=0 e c=-b. Logo
A=\begin{pmatrix}0 & b \\[4pt] -b & 0\end{pmatrix} =b\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Como todo A\in W é múltiplo de \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}, esse único vetor gera W e forma uma base.

Resposta

A base de W é
\left\{\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}\right\}.]

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