Considere a seguinte superfície paramétrica:
Use o Teorema da Divergência para calcular o volume da região envolvida por
com o fluxo do campo vetorial
.
Passo 1
Neste exercício temos a superfície
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, e para resolver vamos precisar calcular a divergência do campo
e relacionar o fluxo de
com o volume da região interna a
.
Passo 2
O Teorema da Divergência estabelece que
Ou seja, o fluxo de
através de
pode ser trocado por um integral de volume sobre
, a região limitada por
.
Passo 3
O campo dado é
Então a divergência é
Passo 4
Como
, o fluxo vale
Ou seja, o fluxo é exatamente o volume da região interna ao toro.
Passo 5
Reconhecemos que
é um toro de raio maior
e raio menor
. Pelo Teorema de Pappus (ou pela fórmula padrão), o volume de um toro é
Substituindo
e
obtemos
Resposta
4\pi^2