Considere a seguinte superfície paramétrica:
S: r(phi, theta)=((2+cos phi) cos theta, 2 sen phi,(2+cos phi) sen theta), phi, theta in[0,2 pi]
Use o Teorema da Divergência para calcular o volume da região envolvida por S com o fluxo do campo vetorial F=y jmath.

Passo 1

Neste exercício temos a superfície
S:r(phi,theta)=((2+cosphi)costheta,,2sinphi,,(2+cosphi)sintheta),phi,thetain[0,2pi]
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, e para resolver vamos precisar calcular a divergência do campo F=y,hatjmath e relacionar o fluxo de F com o volume da região interna a S.

Passo 2

O Teorema da Divergência estabelece que
integral duplaSFcdotn,dS ,=,integral triplaV(nablacdotF),dV
Ou seja, o fluxo de F através de S pode ser trocado por um integral de volume sobre V, a região limitada por S.

Passo 3

O campo dado é
F=(0,,y,,0)
Então a divergência é
nablacdotF=partialpartial x(0)+partialpartial y(y)+partialpartial z(0)=1

Passo 4

Como nablacdotF=1, o fluxo vale
integral duplaSFcdotn,dS=integral triplaV1,dV=Vol(V)
Ou seja, o fluxo é exatamente o volume da região interna ao toro.

Passo 5

Reconhecemos que V é um toro de raio maior R=2 e raio menor r=1. Pelo Teorema de Pappus (ou pela fórmula padrão), o volume de um toro é
V=2pi^2Rr^2
Substituindo R=2 e r=1 obtemos
V=2pi^2cdot2cdot1^2=4pi^2

Resposta

4\pi^2

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