Use o TVI para mostrar que p(x)=2 x^3-5 x^2-10 x+5 possui uma raiz no intervalo [-1,2].
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Se f:[a, b] R é uma função contínua e c é um valor entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um x0 in(a, b) tal que f(x0)=c.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que o polinômio p(x)=2x^3-5x^2-10x+5 possui pelo menos uma raiz no intervalo [-1,2]. Vamos precisar usar que polinômios são funções contínuas e aplicar o TVI ao valor c=0.

Passo 2

Função contínua: Como p(x) é um polinômio, ele é contínuo em todo R, e em particular é contínuo no intervalo [-1,2].

Passo 3

Cálculo dos valores extremais:
$$
p(-1)=2(-1)3-5(-1)2-10(-1)+5=-2-5+10+5=8>0$$
$$
p(2)=2\cdot23-5\cdot22-10\cdot2+5=16-20-20+5=-19<0$$

Passo 4

Como p(-1)=8>0 e p(2)=-19<0, vemos que 0 fica entre p(-1) e p(2). Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um x0in(-1,2) tal que p(x0)=0.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz x0in(-1,2) de p(x), logo em particular em [-1,2].

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