Considere o seguinte teste de hipóteses:
sendo p a proporção de residências com, pelo menos, um chuveiro elétrico em uma certa população.
Uma amostra aleatória de tamanho 400 foi selecionada e verificou-se haver 208 residências na amostra com, pelo menos, um chuveiro elétrico. Considerando
de significância, o p - valor (nível descritivo) do teste, aproximadamente, e a decisão a ser tomada são:
a)
e rejeite H 0
b)
e rejeite H 0
c)
e não rejeite H 0
d)
e não rejeite H 0
e)
e rejeite H 0
Uma amostra aleatória de tamanho 400 foi selecionada e verificou-se haver 208 residências na amostra com, pelo menos, um chuveiro elétrico. Considerando
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede que testemos as hipóteses:
Dados fornecidos:
As perguntas implícitas são: calcular o p‑valor (nível descritivo) do teste e dizer qual decisão tomar (rejeitar ou não
) ao nível de significância
.
Passo 2
Calcular a proporção amostral e entender o que ela representa.
A proporção amostral é
A proporção amostral é
Comentário didático:
é a estimativa pontual de
. No teste de hipótese para proporção, com
grande, usamos a distribuição assintótica normal para
sob
.
Passo 3
Explicar a distribuição amostral sob
e a estatística de teste.
Teoria (muito prática): se é grande e
é a proporção sob
, a variável
tem aproximadamente distribuição normal com média
e variância
. A estatística padronizada é
Teoria (muito prática): se
onde
é o valor sob
; aqui
.
Cheque rápido das condições (regra prática):
e
, ambos bem maiores que
, então a aproximação normal é válida.
Passo 4
Calcular o erro padrão (denominador da estatística).
Arredondando para contas:
.
Passo 5
Calcular a estatística
.
Interpretação: um
negativo e grande em módulo indica que
está bem abaixo de
, favorecendo
.
Passo 6
Calcular o p‑valor para o teste unilateral à esquerda.
Definição: para teste com , o p‑valor é
Definição: para teste com
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão e
é o valor observado de
(aqui
).
Usando simetria da normal e tabelas/valores conhecidos:
Usando simetria da normal e tabelas/valores conhecidos:
Convertendo para porcentagem:
Comentário prático: em termos das alternativas dadas, isto é muito próximo de
(alternativa a).
Passo 7
Decisão do teste ao nível
.
Regra: rejeitamos se o p‑valor
.
Aqui:
Regra: rejeitamos
Aqui:
portanto rejeitamos
.
Interpretação em palavras: há forte evidência, na amostra, de que a proporção verdadeira é menor que
.
Interpretação em palavras: há forte evidência, na amostra, de que a proporção verdadeira
Resposta
a)
e rejeite