Considere o seguinte teste de hipóteses:
\left\{\begin{array}{l} H_{0}: \pi \geq 0,6 \\\ H_{a}: \pi<0,6 \end{array}\right.
sendo p a proporção de residências com, pelo menos, um chuveiro elétrico em uma certa população.
Uma amostra aleatória de tamanho 400 foi selecionada e verificou-se haver 208 residências na amostra com, pelo menos, um chuveiro elétrico. Considerando 5 \% de significância, o p - valor (nível descritivo) do teste, aproximadamente, e a decisão a ser tomada são:
a) 0,07 \% e rejeite H 0
b) 1 \% e rejeite H 0
c) 1,5 \% e não rejeite H 0
d) 2,5 \% e não rejeite H 0
e) 5 \% e rejeite H 0

Passo 1

O enunciado pede que testemos as hipóteses:
\left\{\begin{array}{l} H_{0}: \pi \geq 0,6 \\\ H_{a}: \pi<0,6 \end{array}\right.
Dados fornecidos:
n=400,\qquad X=208\\ (\text{número de residências com chuveiro}),\qquad \alpha=0,05.úê
As perguntas implícitas são: calcular o p‑valor (nível descritivo) do teste e dizer qual decisão tomar (rejeitar ou não H_0) ao nível de significância 5\%.

Passo 2

Calcular a proporção amostral e entender o que ela representa.
A proporção amostral é
\hat{p}=\frac{X}{n}=\frac{208}{400}=0,52.
Comentário didático: \hat{p} é a estimativa pontual de \pi. No teste de hipótese para proporção, com n grande, usamos a distribuição assintótica normal para \hat{p} sob H_0.

Passo 3

Explicar a distribuição amostral sob H_0 e a estatística de teste.
Teoria (muito prática): se n é grande e p_0 é a proporção sob H_0, a variável \hat{p} tem aproximadamente distribuição normal com média p_0 e variância p_0(1-p_0)/n. A estatística padronizada é
Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}},
onde p_0 é o valor sob H_0; aqui p_0=0,6.
Cheque rápido das condições (regra prática): np_0=400\cdot 0,6=240 e n(1-p_0)=400\cdot 0,4=160, ambos bem maiores que 5, então a aproximação normal é válida.

Passo 4

Calcular o erro padrão (denominador da estatística).
\text{erro padrão}=\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\frac{0,6\cdot 0,4}{400}}=\sqrt{\frac{0,24}{400}}=\sqrt{0,0006}=0,024494897\dotsã
Arredondando para contas: 0,024495.

Passo 5

Calcular a estatística Z.
Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\text{erro padrão}}=\frac{0,52-0,6}{0,024495}=\frac{-0,08}{0,024495}\approx -3,266.ã
Interpretação: um Z negativo e grande em módulo indica que \hat{p} está bem abaixo de p_0, favorecendo H_a.

Passo 6

Calcular o p‑valor para o teste unilateral à esquerda.
Definição: para teste com H_a:\pi<0,6, o p‑valor é
\text{p‑valor}=P(Z\le z_{\text{obs}})=\Phi(z_{\text{obs}}),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão e z_{\text{obs}} é o valor observado de Z (aqui -3,266).
Usando simetria da normal e tabelas/valores conhecidos:
\Phi(-3,266)=1-\Phi(3,266)\approx 1-0,99945\approx 0,00055.
Convertendo para porcentagem:
\text{p‑valor}\approx 0,00055=0,055\%=0,055\%\\ (\text{aprox. }0,05\%).
Comentário prático: em termos das alternativas dadas, isto é muito próximo de 0,07\% (alternativa a).

Passo 7

Decisão do teste ao nível \alpha=0,05.
Regra: rejeitamos H_0 se o p‑valor <\alpha.
Aqui:
\text{p‑valor}\approx 0,00055 \ll 0,05,
portanto rejeitamos H_0.
Interpretação em palavras: há forte evidência, na amostra, de que a proporção verdadeira \pi é menor que 0,6.

Resposta

a) 0,07\% e rejeite H_0

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