Um ensaio clínico e realizado para avaliar um novo tipo de tratamento contra uma doença e comparar os resultados com aqueles obtidos usando o tratamento tradicional. Espera-se que a diferença entre as proporções de curados seja de pelo menos
, se isto acontece, o tratamento antigo será retirado do mercado. Dos 500 pacientes tratados com o tratamento novo, 365 se curaram e dos 450 tratados com o antigo 290 se curaram. Numa experiencia previa realizada em outro país, 780 pacientes apresentaram cura num grupo de 1200 participantes tratados com o tratamento convencional. Faça as comparações necessárias usando uma confiança de
. Confira os resultados com intervalos de confiança.
Passo 1
O enunciado pede que comparemos o tratamento novo com o tratamento antigo, usando nível de confiança de
, e que verifiquemos se a diferença entre as proporções de curados é de pelo menos
(se isto ocorrer o tratamento antigo será retirado). Dados fornecidos (usarei exatamente os números do enunciado):
- Tratamento novo:
pacientes, curados . - Tratamento antigo (ensaio atual):
pacientes, curados . - Experiência prévia (outro país) com o tratamento convencional:
, curados .
As perguntas implícitas que vamos responder:
- O novo tratamento é melhor que o antigo por pelo menos
? (teste de hipótese apropriado com nível de significância , já que a confiança pedida é .) - Confirmar/ilustrar os resultados com intervalos de confiança de
para as diferenças de proporções relevantes (novo vs antigo atual; novo vs histórico; antigo atual vs histórico; e novo vs antigo combinado usando histórico).
Passo 2
Calcular as proporções amostrais (são os estimadores naturais das proporções verdadeiras). Fórmula geral para proporção amostral:
Aplicando aos dados:
Diferença observada entre novo e antigo (amostras atuais):
Vou usar essas proporções para estimar variâncias e construir testes/intervalos.
Passo 3
Definimos o teste de hipótese que responde à pergunta “é a diferença de pelo menos
?”. Como o evento crítico é
, adotamos hipóteses unilaterais:
Usaremos um teste z aproximado (válido para amostras grandes) com estatística
onde
é a diferença sob
e a estimativa do erro padrão para a diferença de proporções (quando não estamos impondo igualdade a zero) é
Explicando: cada parcela
é a variância aproximada da proporção amostral; somando as variâncias (as amostras são independentes) e fazendo raiz quadrada temos o desvio padrão da diferença.
Nível de corte para teste unilateral à direita com
é
. Rejeitamos
se
.
Passo 4
Calcular o erro padrão com os valores amostrais:
Primeiro os termos:
Somando:
Logo
Estatística do teste:
Como
é muito menor que
(além de ser negativo), não estamos no caso de rejeitar
para a hipótese unilateral da direita. O p-valor (para o teste unilateral à direita) é
o que é enorme (não rejeitamos
). Conclusão do teste: não há evidência de que
seja pelo menos
ao nível de 1%.
Passo 5
Agora construímos intervalos de confiança de
para as diferenças, para “conferir” os resultados e ver a magnitude plausível da diferença. Fórmula geral do IC de duas caudas para diferença
:
onde
é o quantil da normal padrão para
bilateral.
Para a comparação novo vs antigo (amostras atuais):
Portanto
ou seja
Interpretação rápida: com
de confiança a diferença verdadeira está entre cerca de
e
. Note que
está ligeiramente dentro do extremo superior do intervalo, mas o intervalo também contém valores muito menores que
, inclusive quase zero; isso confirma que não podemos afirmar com confiança de
que a vantagem seja ao menos
.
Passo 6
Comparações envolvendo o estudo prévio (histórico) — é útil checar consistência e também comparar o novo tratamento com o histórico.
- Verificar se a proporção do tratamento antigo no estudo atual difere da do estudo histórico:
Erro padrão:
Margem para
:
. Logo
Conclusão: o antigo no estudo atual e o histórico são compatíveis (o intervalo contém
).
- Comparação novo vs histórico:
Erro padrão:
Margem
:
. Logo
Aqui
fica fora do intervalo superior (o limite superior é
), então comparando o novo apenas com o histórico, não temos suporte de
para uma diferença de
.
- Combinação do histórico com o antigo atual (para ter maior poder): soma dos curados do antigo:
, tamanho . Proporção combinada:
Diferença novo vs combinado:
Erro padrão:
Margem
:
. Logo
Também aqui o limite superior é menor que
, então com os dados combinados não há suporte a nível
de que a vantagem seja
.
Passo 7
Resumo interpretativo (curto e motivador): o efeito observado a favor do novo tratamento é de cerca de
. Os ICs de
mostram que a diferença plausível pode estar bem abaixo de
(em particular, usando o histórico ou combinando amostras, o limite superior do IC fica abaixo de
). O teste formal unilateral para verificar se a vantagem é pelo menos
não rejeita
(p-valor grande). Portanto, com confiança de
não há evidência de que o novo tratamento supere o antigo por pelo menos
, logo não se justifica retirar o tratamento antigo com base nesses dados.
Resposta
Teste
vs
:
, p-valor
. Decisão: não rejeitar
ao nível
(não há evidência de vantagem
).
IC de
para
:
.
IC de
para
:
.
IC de
para
:
.
IC de
para
:
.