- Exercício: Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substância no tempo de reação de seres vivos a um certo tipo de estímulo. Um experimento é desenvolvido com 10 cobaias que são inoculadas com a substância e submetidas a um estímulo elétrico, com seus tempos de reação (em segundos) anotados. O experimento forneceu um valor médio de 9,1 segundos. Admite-se que o tempo de reação segue distribuição normal com média 8 e desvio padrão de 2 segundos. O pesquisador desconfia que o tempo médio sofre alteração por influência da substância. Considere um nível de significância de
e realize o teste pelo método do p -valor e pelo método da região crítica.
Passo 1
O enunciado dá um experimento com 10 cobaias e pede para realizar um teste de hipótese (nível de significância
) de forma dupla: pelo método do p-valor e pelo método da região crítica. Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
Perguntas que o enunciado faz:
- Realizar o teste pelo método do p-valor (ou seja, calcular o p-valor e decidir se rejeita
ou não). - Realizar o teste pelo método da região crítica (ou seja, encontrar a região crítica com
e comparar a estatística de teste).
Passo 2
Formulando as hipóteses (o pesquisador “desconfia que o tempo médio sofre alteração”, portanto é teste bilateral):
Comentário didático: em um teste de média com desvio padrão populacional conhecido e amostra de uma população normal, usamos a estatística
(distribuição normal padrão). Aqui a hipótese alternativa é bilateral porque qualquer alteração (para mais ou para menos) é relevante.
Passo 3
Definição da estatística de teste e explicação das variáveis:
A estatística de teste é
A estatística de teste é
onde
é a média amostral observada,
é a média sob
,
é o desvio padrão populacional (conhecido),
é o tamanho da amostra.
Interpretando: o numerador mede o desvio da média amostral em relação a e o denominador escala esse desvio em unidades de erro padrão da média, transformando o valor em uma variável com distribuição aproximadamente normal padrão
sob
.
Interpretando: o numerador mede o desvio da média amostral em relação a
Passo 4
Cálculo numérico da estatística
. Primeiro calcule o erro padrão da média:
Calcule
. Aproximação:
. Então
Agora calcule
:
Explicando passo a passo: subtraiu-se a média hipotética
da média observada
(resultando
), depois dividiu-se pelo erro padrão
para obter
.
Passo 5
Método do p-valor — definição e cálculo:
Em um teste bilateral, o p-valor é
Em um teste bilateral, o p-valor é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Aqui . Usando tabela da normal padrão ou calculadora encontramos
(aproximação; tabelas dão valores semelhantes).
Portanto
Aqui
Portanto
Interpretação didática: o p-valor é a probabilidade, sob
, de observar uma média tão ou mais distante de
quanto a observada. Obtivemos
.
Passo 6
Decisão pelo método do p-valor:
Comparar com o nível de significância
.
Comparar
portanto não rejeitamos
ao nível de significância
.
Explicando de forma informal: o p-valor ( ) é maior que o corte (
), então os dados não são suficientemente improváveis sob
para rejeitá-la.
Explicando de forma informal: o p-valor (
Passo 7
Método da região crítica — encontrar o valor crítico para teste bilateral:
Para teste bilateral com nível dividimos
em duas caudas: cada cauda terá
.
O valor crítico em termos da normal padrão é , onde
é o quantil tal que
.
Consultando tabela ou calculadora obtemos
Para teste bilateral com nível
O valor crítico em termos da normal padrão é
Consultando tabela ou calculadora obtemos
Assim a região crítica (região de rejeição) é
Passo 8
Comparação da estatística com a região crítica e conclusão:
Nossa estatística observada é .
Como
Nossa estatística observada é
Como
então
não está na região crítica. Logo, pelo método da região crítica, não rejeitamos
ao nível
.
Passo 9
Interpretação final em linguagem simples e encorajamento:
Os dois métodos (p-valor e região crítica) deram a mesma conclusão: não há evidência estatística suficiente, ao nível de significância , para afirmar que a substância alterou o tempo médio de reação (não rejeitamos
). Em termos práticos: a média observada
é mais alta que
, mas essa diferença não é grande o suficiente (considerando a variabilidade e o tamanho da amostra
) para provar mudança estatisticamente no nível
. É normal ficar inseguro — em provas foque em escrever claramente as hipóteses, a estatística usada, o cálculo e a comparação com
; com isso você garante a nota mesmo quando os números não rejeitam
. Força aí!
Os dois métodos (p-valor e região crítica) deram a mesma conclusão: não há evidência estatística suficiente, ao nível de significância
Resposta
Pelo método do p-valor:
; concluímos não rejeitar
ao nível
.
Pelo método da região crítica: , região crítica
;
não pertence à região crítica, logo não rejeitamos
ao nível
.
Pelo método da região crítica: