• Exercício: Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substância no tempo de reação de seres vivos a um certo tipo de estímulo. Um experimento é desenvolvido com 10 cobaias que são inoculadas com a substância e submetidas a um estímulo elétrico, com seus tempos de reação (em segundos) anotados. O experimento forneceu um valor médio de 9,1 segundos. Admite-se que o tempo de reação segue distribuição normal com média 8 e desvio padrão de 2 segundos. O pesquisador desconfia que o tempo médio sofre alteração por influência da substância. Considere um nível de significância de 6 \% e realize o teste pelo método do p -valor e pelo método da região crítica.

Passo 1

O enunciado dá um experimento com 10 cobaias e pede para realizar um teste de hipótese (nível de significância 6\%) de forma dupla: pelo método do p-valor e pelo método da região crítica. Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Tamanho da amostra: } n=10,\\\ &\text{Média amostral observada: } \bar{x}=9,1\\ \text{(segundos)},\\\ &\text{Sob a hipótese nula admite-se que } \mu_0=8\\ \text{(segundos)},\\\ &\text{Desvio padrão populacional conhecido: } \sigma=2\\ \text{(segundos)},\\\ &\text{Nível de significância: } \alpha=0,06. \end{aligned}éóãíâ
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Realizar o teste pelo método do p-valor (ou seja, calcular o p-valor e decidir se rejeita H_0 ou não).
  2. Realizar o teste pelo método da região crítica (ou seja, encontrar a região crítica com \alpha=0,06 e comparar a estatística de teste).

Passo 2

Formulando as hipóteses (o pesquisador “desconfia que o tempo médio sofre alteração”, portanto é teste bilateral):
\begin{aligned} &H_0:\\ \mu = \mu_0 = 8,\\\ &H_1:\\ \mu \neq 8. \end{aligned}
Comentário didático: em um teste de média com desvio padrão populacional conhecido e amostra de uma população normal, usamos a estatística Z (distribuição normal padrão). Aqui a hipótese alternativa é bilateral porque qualquer alteração (para mais ou para menos) é relevante.

Passo 3

Definição da estatística de teste e explicação das variáveis:
A estatística de teste é
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}},
onde
\bar{X} é a média amostral observada,
\mu_0 é a média sob H_0,
\sigma é o desvio padrão populacional (conhecido),
n é o tamanho da amostra.
Interpretando: o numerador mede o desvio da média amostral em relação a \mu_0 e o denominador escala esse desvio em unidades de erro padrão da média, transformando o valor em uma variável com distribuição aproximadamente normal padrão N(0,1) sob H_0.

Passo 4

Cálculo numérico da estatística Z. Primeiro calcule o erro padrão da média:
\text{erro padrão}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{10}}.ã
Calcule \sqrt{10}. Aproximação:
\sqrt{10}\approx 3,1623. Então
\frac{2}{\sqrt{10}}\approx \frac{2}{3,1623}\approx 0,63246.
Agora calcule Z:
Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{9,1-8}{0,63246}=\frac{1,1}{0,63246}\approx 1,739.
Explicando passo a passo: subtraiu-se a média hipotética 8 da média observada 9,1 (resultando 1,1), depois dividiu-se pelo erro padrão 0,63246 para obter Z\approx 1,739.

Passo 5

Método do p-valor — definição e cálculo:
Em um teste bilateral, o p-valor é
\text{p-valor}=2\cdot P(Z_{\text{std}}>|z_{\text{obs}}|)=2\bigl(1-\Phi(|z_{\text{obs}}|)\bigr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Aqui |z_{\text{obs}}|\approx 1,739. Usando tabela da normal padrão ou calculadora encontramos
\Phi(1,739)\approx 0,9590 (aproximação; tabelas dão valores semelhantes).
Portanto
\text{p-valor}=2\bigl(1-0,9590\bigr)=2(0,0410)=0,0820.
Interpretação didática: o p-valor é a probabilidade, sob H_0, de observar uma média tão ou mais distante de \mu_0 quanto a observada. Obtivemos \text{p-valor}\approx 0,082.

Passo 6

Decisão pelo método do p-valor:
Comparar \text{p-valor} com o nível de significância \alpha=0,06.
0,082>0,06,
portanto não rejeitamos H_0 ao nível de significância 6\%.
Explicando de forma informal: o p-valor ( \approx 8,2\%) é maior que o corte ( 6\%), então os dados não são suficientemente improváveis sob H_0 para rejeitá-la.

Passo 7

Método da região crítica — encontrar o valor crítico para teste bilateral:
Para teste bilateral com nível \alpha=0,06 dividimos \alpha em duas caudas: cada cauda terá \alpha/2=0,03.
O valor crítico em termos da normal padrão é z_{1-\alpha/2}=z_{0,97}, onde z_{p} é o quantil tal que \Phi(z_p)=p.
Consultando tabela ou calculadora obtemos
z_{0,97}\approx 1,881.
Assim a região crítica (região de rejeição) é
\{z: |z|>1,881\}.

Passo 8

Comparação da estatística com a região crítica e conclusão:
Nossa estatística observada é z_{\text{obs}}\approx 1,739.
Como
|1,739|<1,881,
então z_{\text{obs}} não está na região crítica. Logo, pelo método da região crítica, não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,06.

Passo 9

Interpretação final em linguagem simples e encorajamento:
Os dois métodos (p-valor e região crítica) deram a mesma conclusão: não há evidência estatística suficiente, ao nível de significância 6\%, para afirmar que a substância alterou o tempo médio de reação (não rejeitamos H_0:\mu=8). Em termos práticos: a média observada 9,1 é mais alta que 8, mas essa diferença não é grande o suficiente (considerando a variabilidade e o tamanho da amostra n=10) para provar mudança estatisticamente no nível 6\%. É normal ficar inseguro — em provas foque em escrever claramente as hipóteses, a estatística usada, o cálculo e a comparação com \alpha; com isso você garante a nota mesmo quando os números não rejeitam H_0. Força aí!

Resposta

Pelo método do p-valor: \text{p-valor}\approx 0,082; concluímos não rejeitar H_0 ao nível \alpha=0,06.
Pelo método da região crítica: z_{\text{obs}}\approx 1,739, região crítica |z|>1,881; z_{\text{obs}} não pertence à região crítica, logo não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,06.

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