Considere a seguinte transformação de
em
(espaço vetorial de funções contínuas nos reais):
(a) Calcule
(b) Calcule
(c) Calcule
(d)
é linear?
(e)
é injetora?
(b) Calcule
(c) Calcule
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado define a aplicação
e pede:
(a)
(b)
(c)
(d) verificar se é linear
(e) verificar se é injetora.
Vamos usar as regras básicas de derivação (derivada da soma, constante e produto por escalar) e as definições de linearidade e injetividade.
(a)
(b)
(c)
(d) verificar se
(e) verificar se
Vamos usar as regras básicas de derivação (derivada da soma, constante e produto por escalar) e as definições de linearidade e injetividade.
Passo 2
Aplicando a derivada termo a termo, temos
Passo 3
Para verificar linearidade, lembramos que um operador
é linear se
para quaisquer
e escalar
. Como a derivada satisfaz exatamente essas propriedades, concluímos que
é linear.
Passo 4
Para testar injetividade, observamos que
significa
, ou seja,
é constante. Existem funções não nulas (as constantes não zero) que são enviadas em zero, logo o núcleo de
não é trivial. Assim,
não é injetora.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) é linear.
(e) não é injetora.
(b)
(c)
(d)
(e)