Considere a seguinte transformação de C^1(R)^[ Nota 2] em C(R) (espaço vetorial de funções contínuas nos reais):
D(f(t))=d fd t
(a) Calcule D(0)
(b) Calcule D(cos (t))
(c) Calcule D(cos (t)+3 t^2-2 t+1)
(d) D é linear?
(e) D é injetora?

Passo 1

O enunciado define a aplicação
D: C^1(R) to C(R), Dl(f(t)r)=dfdt
e pede:
(a) D(0)
(b) Dl(cos(t)r)
(c) Dl(cos(t)+3t^2-2t+1r)
(d) verificar se D é linear
(e) verificar se D é injetora.
Vamos usar as regras básicas de derivação (derivada da soma, constante e produto por escalar) e as definições de linearidade e injetividade.

Passo 2

Aplicando a derivada termo a termo, temos
D(0)=ddt(0)=0,
Dl(cos(t)r)=ddtl(cos(t)r)=-sin(t),
Dl(cos(t)+3t^2-2t+1r) =-sin(t)+ddt(3t^2)-ddt(2t)+ddt(1) =-sin(t)+6t-2+0

Passo 3

Para verificar linearidade, lembramos que um operador L é linear se
L(f+g)=L(f)+L(g) e L(c,f)=c,L(f)
para quaisquer f,g e escalar c. Como a derivada satisfaz exatamente essas propriedades, concluímos que D é linear.

Passo 4

Para testar injetividade, observamos que D(f)=0 significa df/dt=0, ou seja, f é constante. Existem funções não nulas (as constantes não zero) que são enviadas em zero, logo o núcleo de D não é trivial. Assim, D não é injetora.

Resposta

(a) 0
(b) -sin(t)
(c) -sin(t)+6t-2
(d) D é linear.
(e) D não é injetora.

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