Obtenha uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares. Verifique se são injetoras, sobrejetoras, isomorfismos:
, onde
Passo 1
O enunciado pede para o operador linear
encontrar uma base e a dimensão de
e de
, e verificar se
é injetora, sobrejetora ou isomorfismo. Vamos usar a definição de núcleo (
), imagem (
) e o Teorema da Dimensão (posto–nuloidade).
Passo 2
Para achar
, resolvemos
Integrando duas vezes, obtemos
com
. Logo
e portanto
Passo 3
Para a imagem, aplicamos
aos monômios da base padrão
:
Assim
e portanto
Passo 4
Verificando posto–nuloidade: como
, temos
o que confere com o Teorema da Dimensão.
Passo 5
Injetividade: como
,
não é injetora.
Sobrejetividade: como ,
não é sobrejetora.
Isomorfismo: só pode ocorrer se for injetora e sobrejetora, o que não acontece, logo não é isomorfismo.
Sobrejetividade: como
Isomorfismo: só pode ocorrer se for injetora e sobrejetora, o que não acontece, logo
Resposta
Base de
:
,
Base de :
,
não é injetora, não é sobrejetora e, portanto, não é isomorfismo.
Base de