Obtenha uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares. Verifique se são injetoras, sobrejetoras, isomorfismos:
D: P5(R) P5(R), onde D(f)=f^prime prime

Passo 1

O enunciado pede para o operador linear
Dcolon P5(R) to P5(R), D(f)=f'',
encontrar uma base e a dimensão de ker D e de Im D, e verificar se D é injetora, sobrejetora ou isomorfismo. Vamos usar a definição de núcleo ( ker D=f:f''=0), imagem ( Im D=f'':fin P5) e o Teorema da Dimensão (posto–nuloidade).

Passo 2

Para achar ker D, resolvemos
f''(x)=0
Integrando duas vezes, obtemos
f(x)=ax+b,
com a,binR. Logo
ker D=,ax+b:a,binR, = span1,,x,
e portanto
dim(ker D)=2

Passo 3

Para a imagem, aplicamos D aos monômios da base padrão 1,x,x^2,x^3,x^4,x^5:
D(1)=0, D(x)=0, D(x^2)=2, D(x^3)=6x, D(x^4)=12x^2, D(x^5)=20x^3
Assim
Im D = span2,,6x,,12x^2,,20x^3 = span1,,x,,x^2,,x^3,
e portanto
dim(Im D)=4

Passo 4

Verificando posto–nuloidade: como dim P5(R)=6, temos
dim(ker D)+dim(Im D)=2+4=6,
o que confere com o Teorema da Dimensão.

Passo 5

Injetividade: como dim(ker D)=2>0, D não é injetora.
Sobrejetividade: como dim(Im D)=4<6=dim P5, D não é sobrejetora.
Isomorfismo: só pode ocorrer se for injetora e sobrejetora, o que não acontece, logo D não é isomorfismo.

Resposta

Base de ker D: 1,x, dim(ker D)=2
Base de Im D: 1,x,x^2,x^3, dim(Im D)=4
D não é injetora, não é sobrejetora e, portanto, não é isomorfismo.

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