Obtenha uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares. Verifique se são injetoras, sobrejetoras, isomorfismos: que rotaciona um vetor em torno do eixo perfazendo um ângulo :
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
O conteúdo é análise de núcleo e imagem de uma rotação em torno do eixo . Para isso, vamos representar por sua matriz em relação à base canônica, achar o núcleo resolvendo , determinar a imagem via colunas da matriz, e aplicar o Teorema da Dimensão (rank–nullity) para concluir sobre injetividade, sobrejetividade e isomorfismo.
Passo 2
Em relação à base , a matriz de é
Passo 3
Para achar o núcleo, resolvemos
As duas primeiras equações formam um sistema invertível (rotação no plano e . Juntamente com , segue
Passo 4
A imagem de Rtheta é o espaço gerado pelas colunas de M. Como
det M = det costheta & -sintheta sintheta & costheta cdot 1 = 1neq 0,
as três colunas são linearmente independentes e geram R^3. Logo
Im(Rtheta) = R^3
Passo 5
Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity),
dimker(Rtheta) + dimIm(Rtheta) = 3
Já vimos que dimker(Rtheta)=0 e dimIm(Rtheta)=3, confirmando a soma.
Passo 6
Como ker(Rtheta)=0, Rtheta é injetora. Como Im(Rtheta)=R^3, ela é sobrejetora. Sendo ambas, Rtheta é um isomorfismo de R^3 em R^3.
Resposta
Base do núcleo: nenhuma (só o vetor nulo), logo dimker(Rtheta)=0.
Base da imagem: qualquer base de R^3 (por exemplo (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)), logo dimIm(Rtheta)=3. Rtheta é injetora, sobrejetora e, portanto, um isomorfismo.