Obtenha uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares. Verifique se são injetoras, sobrejetoras, isomorfismos:
Rtheta: R^3 R^3 que rotaciona um vetor em torno do eixo z perfazendo um ângulo theta :
Rtheta(x, y, z)=(x cos theta-y sen theta, x sen theta+y cos theta, z)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Rthetacolon R^3 to R^3, Rtheta(x,y,z) = (xcostheta - ysintheta,;xsintheta + ycostheta,;z)
O conteúdo é análise de núcleo e imagem de uma rotação em torno do eixo z. Para isso, vamos representar Rtheta por sua matriz em relação à base canônica, achar o núcleo resolvendo Rtheta(v)=0, determinar a imagem via colunas da matriz, e aplicar o Teorema da Dimensão (rank–nullity) para concluir sobre injetividade, sobrejetividade e isomorfismo.

Passo 2

Em relação à base e1,e2,e3, a matriz de Rtheta é
M = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos
As duas primeiras equações formam um sistema invertível (rotação no plano e . Juntamente com , segue

Passo 4

A imagem de Rtheta é o espaço gerado pelas colunas de M. Como
det M = det costheta & -sintheta sintheta & costheta cdot 1 = 1neq 0,
as três colunas são linearmente independentes e geram R^3. Logo
Im(Rtheta) = R^3

Passo 5

Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity),
dimker(Rtheta) + dimIm(Rtheta) = 3
Já vimos que dimker(Rtheta)=0 e dimIm(Rtheta)=3, confirmando a soma.

Passo 6

Como ker(Rtheta)=0, Rtheta é injetora. Como Im(Rtheta)=R^3, ela é sobrejetora. Sendo ambas, Rtheta é um isomorfismo de R^3 em R^3.

Resposta

Base do núcleo: nenhuma (só o vetor nulo), logo dimker(Rtheta)=0.
Base da imagem: qualquer base de R^3 (por exemplo (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)), logo dimIm(Rtheta)=3.
Rtheta é injetora, sobrejetora e, portanto, um isomorfismo.

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