Exercício 10
Seja A in Mm times p(F) e B in Mp times n(F). Mostre que (A B)^t=B^t A^t e que In^t=In, em que In in Mn(F) é à identidade. Use este resultado para mostrar que se A in Mn(F) é inversível, então A^t também é. Além disto vale (A^-1)^t=(A^t)^-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as propriedades do transposto de matrizes:
  1. ,(AB)^t=B^tA^t para Ain Mmtimes p(F) e Bin Mptimes n(F).
  2. ,In^t=In onde Inin Mn(F) é a matriz identidade.
    Em seguida, usar esses resultados para provar que se Ain Mn(F) é inversível, então A^t também é inversível e ainda
l(A^-1r)^t ;=;l(A^tr)^-1
O conteúdo necessário é a definição de transposta e as propriedades de multiplicação e inversão de matrizes.

Passo 2

Para provar (AB)^t=B^tA^t usamos a definição de transposta em termos de entradas. Se (AB)ij=sumk=1^pAikBkj, então
(AB)^tij ;=;(AB)ji ;=;sumk=1^pAjkBki
Por outro lado, as entradas de B^tA^t são
l(B^tA^tr)ij ;=;sumk=1^pB^tik,A^tkj ;=;sumk=1^pBki,Ajk,
e, como a soma é comutativa, essas expressões coincidem. Logo
(AB)^t=B^tA^t

Passo 3

A matriz identidade In tem entradas (In)ij=de<aij (1 se i=j, 0 caso contrário). Portanto
(In^t)ij=(In)ji=de<aji=de<aij=(In)ij,
ou seja
In^t=In

Passo 4

Suponha que Ain Mn(F) seja inversível, com inversa A^-1. Então
A,A^-1=In
Tomando transposta em ambos os lados e usando os resultados dos passos anteriores, temos
l(A,A^-1r)^t = (A^-1)^t,A^t e In^t=In,
logo
(A^-1)^t,A^t=In
Isso mostra que A^t tem inversa (A^-1)^t, ou seja, A^t é inversível e
l(A^tr)^-1=(A^-1)^t

Resposta

(AB)^t=B^tA^t, ;In^t=In, e se A é inversível então A^t também é, com
l(A^-1r)^t=l(A^tr)^-1

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