Exercício 10
Seja
e
. Mostre que
e que
, em que
é à identidade. Use este resultado para mostrar que se
é inversível, então
também é. Além disto vale
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar as propriedades do transposto de matrizes:
-
para e . -
onde é a matriz identidade.
Em seguida, usar esses resultados para provar que seé inversível, então também é inversível e ainda
O conteúdo necessário é a definição de transposta e as propriedades de multiplicação e inversão de matrizes.
Passo 2
Para provar
usamos a definição de transposta em termos de entradas. Se
, então
Por outro lado, as entradas de
são
e, como a soma é comutativa, essas expressões coincidem. Logo
Passo 3
A matriz identidade
tem entradas
(1 se
, 0 caso contrário). Portanto
ou seja
Passo 4
Suponha que
seja inversível, com inversa
. Então
Tomando transposta em ambos os lados e usando os resultados dos passos anteriores, temos
logo
Isso mostra que
tem inversa
, ou seja,
é inversível e