Considere a seguinte trecho de notícia publicada em 01 / 02 / 2024 no jornal O Globo
“O Brasil registrou, em média, um acidente aéreo a cada dois dias nos últimos dez anos, de acordo com os dados do Cenipa (Centro de Investigação e Prevenção de Acidentes Aeronáuticos), da FAB (Força Aérea Brasileira). Entre janeiro de 2012 e abril de 2023, foram registrados 1878 acidentes com helicópteros, aviões, ultraleves, planadores, hidroaviões e trikes.”
Suponha que o número de acidentes aéreos tenha distribuição de Poisson ocorrendo, em média, um acidente a cada dois dias e responda:
Qual a probabilidade de que em uma semana ocorram 5 acidentes aéreos?

Passo 1

O que o enunciado pede: qual a probabilidade de que, numa semana, ocorram exatamente 5 acidentes aéreos?
Informações dadas: média de um acidente a cada dois dias; assumir distribuição de Poisson. O período de interesse é uma semana (ou seja, 7 dias).

Passo 2

Conceito e ideia principal (aula rápida e amigável): a distribuição de Poisson é usada para modelar o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo de tempo quando essas ocorrências acontecem com taxa média constante e independentemente entre si.
  • A variável aleatória X = número de acidentes na semana segue Poisson.
  • O parâmetro \lambda da Poisson é a média (valor esperado) de acidentes no intervalo que estamos considerando. Aqui temos que converter a taxa dada (um acidente a cada dois dias) para a média numa semana.

Passo 3

Calcular a média semanal \lambda: a taxa dada é de 1 acidente a cada 2 dias, ou seja, taxa por dia
\text{taxa por dia}=\frac{1}{2}.
Para uma semana de 7 dias a média é
\lambda = \left(\frac{1}{2}\right)\cdot 7 = 3{,}5.
Explicando: \lambda é o número médio esperado de acidentes em 7 dias.

Passo 4

Fórmula da Poisson (aula rápida sobre a fórmula): se X\sim Poisson( \lambda), então a probabilidade de observar exatamente k eventos é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2{,}71828),
  • \lambda é a média no intervalo,
  • k! é o fatorial de k (produto dos inteiros de 1 até k; por definição 0!=1).
Aplicando ao nosso caso: queremos k=5 e \lambda=3{,}5. Logo
P(X=5)=e^{-3{,}5}\frac{3{,}5^{5}}{5!}.

Passo 5

Cálculo passo a passo das potências e do fatorial (para você poder reproduzir sem calculadora até onde der):
  • Calcule 3{,}5^{2}=3{,}5\cdot 3{,}5=12{,}25.
  • 3{,}5^{3}=12{,}25\cdot 3{,}5=42{,}875.
  • 3{,}5^{4}=42{,}875\cdot 3{,}5=150{,}0625.
  • 3{,}5^{5}=150{,}0625\cdot 3{,}5=525{,}21875.
  • 5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120.
Portanto
\frac{3{,}5^{5}}{5!}=\frac{525{,}21875}{120}=4{,}376822916\ldots

Passo 6

Agora calcule e^{-3{,}5} (aqui entra uma aproximação numérica; para provas muitas vezes é permitido usar calculadora; se não, memorize que e^{-3{,}5}\approx 0{,}030197383). Multiplicando:
P(X=5)=e^{-3{,}5}\cdot 4{,}376822916\ldots \approx 0{,}030197383\cdot 4{,}376822916\ldots
Fazendo a multiplicação obtemos aproximadamente
P(X=5)\approx 0{,}1322.
Interpretação rápida: cerca de 13{,}22\% de chance de exatamente cinco acidentes numa semana.

Resposta

P(X=5)=e^{-3{,}5}\frac{3{,}5^{5}}{5!}\approx 0{,}1322

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