Considere a seguinte trecho de notícia publicada em
no jornal O Globo
“O Brasil registrou, em média, um acidente aéreo a cada dois dias nos últimos dez anos, de acordo com os dados do Cenipa (Centro de Investigação e Prevenção de Acidentes Aeronáuticos), da FAB (Força Aérea Brasileira). Entre janeiro de 2012 e abril de 2023, foram registrados 1878 acidentes com helicópteros, aviões, ultraleves, planadores, hidroaviões e trikes.”
Suponha que o número de acidentes aéreos tenha distribuição de Poisson ocorrendo, em média, um acidente a cada dois dias e responda:
Qual a probabilidade de que em uma semana ocorram 5 acidentes aéreos?
Qual a probabilidade de que em uma semana ocorram 5 acidentes aéreos?
Passo 1
O que o enunciado pede: qual a probabilidade de que, numa semana, ocorram exatamente 5 acidentes aéreos?
Informações dadas: média de um acidente a cada dois dias; assumir distribuição de Poisson. O período de interesse é uma semana (ou seja, dias).
Informações dadas: média de um acidente a cada dois dias; assumir distribuição de Poisson. O período de interesse é uma semana (ou seja,
Passo 2
Conceito e ideia principal (aula rápida e amigável): a distribuição de Poisson é usada para modelar o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo de tempo quando essas ocorrências acontecem com taxa média constante e independentemente entre si.
- A variável aleatória
= número de acidentes na semana segue Poisson. - O parâmetro
da Poisson é a média (valor esperado) de acidentes no intervalo que estamos considerando. Aqui temos que converter a taxa dada (um acidente a cada dois dias) para a média numa semana.
Passo 3
Calcular a média semanal
: a taxa dada é de
acidente a cada
dias, ou seja, taxa por dia
Para uma semana de
dias a média é
Explicando:
é o número médio esperado de acidentes em
dias.
Passo 4
Fórmula da Poisson (aula rápida sobre a fórmula): se
Poisson(
), então a probabilidade de observar exatamente
eventos é
onde:
-
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente ), -
é a média no intervalo, -
é o fatorial de (produto dos inteiros de até ; por definição ).
Aplicando ao nosso caso: queremos
e
. Logo
Passo 5
Cálculo passo a passo das potências e do fatorial (para você poder reproduzir sem calculadora até onde der):
- Calcule
-
-
-
-
Portanto
Passo 6
Agora calcule
(aqui entra uma aproximação numérica; para provas muitas vezes é permitido usar calculadora; se não, memorize que
). Multiplicando:
Fazendo a multiplicação obtemos aproximadamente
Interpretação rápida: cerca de
de chance de exatamente cinco acidentes numa semana.