Considere o seguinte vetor de R^3: U=(1,0,-1). Determine a forma geral de um vetor perpendicular a U. Explique porque sua resposta contém duas variáveis livres.

Passo 1

O enunciado dá o vetor U=(1,0,-1) em R^3 e pede todo vetor V que seja perpendicular a U. O conteúdo aqui é produto escalar e espaços de soluções de sistemas lineares: vamos impor Ucdot V=0.

Passo 2

Seja V=(x,y,z). A condição de ortogonalidade é
Ucdot V = 1cdot x + 0cdot y + (-1)cdot z = x - z = 0

Passo 3

Da equação x - z = 0 segue x = z. Podemos então escolher livremente duas variáveis, digamos
y = s, z = t, s,tinR,
e obter
V = (x,y,z) = (t,,s,,t) = s,(0,1,0) + t,(1,0,1)

Passo 4

Explicação das duas variáveis livres: há apenas uma restrição linear ( x-z=0) em três incógnitas, logo o espaço solução tem dimensão 3-1=2. Por isso aparecem dois parâmetros livres.

Resposta

A forma geral de um vetor perpendicular a U é
V = (t,,s,,t), s,tinR

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