Determine, caso exista, uma reta que passa por Pe intercepta r e s nos pontos A e B de modo que os segmentos AP e BP sejam congruentes, nos seguintes casos:
(a) P=(1,1,9), r=(0,-4,1)+t(2,1,0), t in R e s= (0,-3,-3)+t(1,0,2), t in R.
(b) P=(1,2,3), r=t(1,0,1), t in R e s=(1,1,1)+ t(2,1,1), t in R.

Passo 1

O problema pede uma reta que passe por um ponto P e que intersecte duas retas r e s nos pontos A e B, de modo que os segmentos PA e PB tenham o mesmo comprimento.
Conteúdo: geometria analítica no espaço (linearidade de retas, vetores colineares e igualdade de distâncias).

Passo 2

Seja
A = r(u), B = s(v),
e P dado. Então
PA = A - P, PB = B - P
Como A,P,B são colineares, existe escalar lambda tal que
PB = lambda,PA
A igualdade de comprimentos |PA| = |PB| implica |lambda|=1. Logo só há casos lambda=1 (que dá B=A) ou lambda=-1 (que dá B como reflexão de A em P).

Passo 3

Caso (a):
P=(1,1,9),
r(u)=(0,-4,1)+u(2,1,0), s(v)=(0,-3,-3)+v(1,0,2)
Escrevendo PA e PB e impondo PB=lambda,PA para lambda=pm1, descobre-se que o único compatível é lambda=1, o que força A=B. Resolvendo dá u=1, v=2 e
A=B=(2,-3,1)
Logo a reta buscada passa por P e por (2,-3,1).

Passo 4

A direção dessa reta é
(2,-3,1)-(1,1,9) = (1,-4,-8),
portanto uma parametrização é
ell:; (x,y,z) = (1,1,9) + t,(1,-4,-8), tinR
Nela t=1 A=B=(2,-3,1), e |PA|=|PB| trivialmente.

Passo 5

Caso (b):
P=(1,2,3),
r(u)=l(u,0,ur), s(v)=(1+2v,1+v,1+v)
Repetindo o mesmo procedimento para lambda=pm1 não se obtém valores de u,v que satisfaçam simultaneamente a colinearidade e |PA|=|PB|. Conclui-se que não existe reta com a propriedade desejada em (b).

Resposta

(a) A reta ell é
(x,y,z) = (1,1,9) + t,(1,-4,-8), tinR
(b) Não existe reta que satisfaça as condições.

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