Dados vetores u, v e w tais que (u times v) cdot w=-3. Podemos afirmar:
Escolha uma opção:
a. ((-4 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+4 stackrelharpoonupw)) cdot stackrelharpoonupv=0
b. ((-4 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+4 stackrelharpoonupw)) cdot v=-24
c. ((-4 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+4 stackrelharpoonupw)) cdot v=-48
d. ((-4 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+4 stackrelharpoonupw)) cdot stackrelharpoonupv=48
e. ((-4 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+4 stackrelharpoonupw)) cdot v=24

Passo 1

O enunciado pede para calcular
((-4vec u-vec v)times(vec v+4vec w))cdotvec v
sabendo que
(vec utimesvec v)cdotvec w=-3
O conteúdo aqui é o produto misto (ou triplo) de vetores, que é multilinear e alternante.

Passo 2

Defina
A = -4vec u - vec v, B = vec v + 4vec w,
e seja
S(A,B,vec v) = (Atimes B)cdotvec v
Pela multilinearidade em A temos
S(A,B,vec v) = S(-4vec u-vec v,,B,vec v) = S(-4vec u,,B,vec v) + S(-vec v,,B,vec v)

Passo 3

Calcule S(-4vec u,,B,vec v). Como é linear em A e B,
S(-4vec u,,B,vec v) = -4,S(vec u,,vec v+4vec w,vec v) = -4l[S(vec u,vec v,vec v)+4,S(vec u,vec w,vec v)r]
Mas S(vec u,vec v,vec v)=0 (repetição de vec v), logo
S(-4vec u,,B,vec v) = -16,S(vec u,vec w,vec v)

Passo 4

Calcule S(-vec v,,B,vec v). Novamente pela multilinearidade,
S(-vec v,,B,vec v) = -l[S(vec v,vec v,vec v)+4,S(vec v,vec w,vec v)r] =0
pois há sempre repetição de vec v.

Passo 5

Somando os dois termos conclui-se
S(A,B,vec v) = -16,S(vec u,vec w,vec v)

Passo 6

Use a alternância do produto misto para relacionar
S(vec u,vec w,vec v) =(vec utimesvec w)cdotvec v
com
S(vec u,vec v,vec w) =(vec utimesvec v)cdotvec w=-3
Como trocar vec v e vec w inverte o sinal,
S(vec u,vec w,vec v)=-,S(vec u,vec v,vec w)=-(-3)=3

Passo 7

Substituindo,
S(A,B,vec v)=-16cdot3=-48

Resposta

c. (-4vec u-vec v)times(vec v+4vec w))cdotvec v=-48

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