Considere as seguintes afirmaçōes.
(I) Se uma série
de termos positivos for tal que
. Então, a série converge se
.
(II) Usando o critério da razão é possivel concluir que a série
converge.
(III) Usando o critério da razão podemos concluir que a série
diverge.
Nestas condiçōes, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) (I), (II) e (III) são talsas
© (I), (II) e (III) săo verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
- Resposta. A alternativa correta é a letra (a).
(I) Se uma série
(II) Usando o critério da razão é possivel concluir que a série
(III) Usando o critério da razão podemos concluir que a série
Nestas condiçōes, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) (I), (II) e (III) são talsas
© (I), (II) e (III) săo verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre séries numéricas e o critério da razão para analisar a convergência delas. A matéria aqui é sobre séries numéricas e o critério da razão. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o critério da razão e aplicá-lo às séries mencionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o critério da razão. Esse critério diz o seguinte: se você tem uma série
com termos positivos e calcula o limite
, então:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos analisar a afirmação (I):
(I) Se uma série de termos positivos for tal que
. Então, a série converge se
.
(I) Se uma série
Isso está correto de acordo com o critério da razão. Se
, a série realmente converge. Portanto, a afirmação (I) é verdadeira.
Passo 4
Agora, a afirmação (II):
Usando o critério da razão, é possível concluir que a série converge.
Usando o critério da razão, é possível concluir que a série
Vamos aplicar o critério da razão nessa série. Primeiro, identifiquemos o termo geral:
Calculando o limite:
Como
, pelo critério da razão, a série diverge. Portanto, a afirmação (II) é falsa.
Passo 5
Vamos para a afirmação (III):
Usando o critério da razão, podemos concluir que a série diverge.
Usando o critério da razão, podemos concluir que a série
Aqui, a série é a série harmônica:
Calculando o limite:
Como
, o critério da razão é inconclusivo. Mas sabemos, por outros métodos, que a série harmônica diverge. Contudo, com base apenas no critério da razão, não podemos concluir isso diretamente. Portanto, a afirmação (III) é falsa.
Resposta
A alternativa correta é a letra (a) apenas (I) é verdadeira.