Considere as seguintes afirmaçōes.
(I) Se uma série sumn >= 1 an de termos positivos for tal que L=lim n infty an+1an. Então, a série converge se L<1.
(II) Usando o critério da razão é possivel concluir que a série 2+2^22+2^33+cdots+ converge.
(III) Usando o critério da razão podemos concluir que a série sum 1n diverge.
Nestas condiçōes, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) (I), (II) e (III) são talsas
© (I), (II) e (III) săo verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
  • Resposta. A alternativa correta é a letra (a).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre séries numéricas e o critério da razão para analisar a convergência delas. A matéria aqui é sobre séries numéricas e o critério da razão. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o critério da razão e aplicá-lo às séries mencionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o critério da razão. Esse critério diz o seguinte: se você tem uma série com termos positivos e calcula o limite , então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos analisar a afirmação (I):
(I) Se uma série de termos positivos for tal que . Então, a série converge se .
Isso está correto de acordo com o critério da razão. Se , a série realmente converge. Portanto, a afirmação (I) é verdadeira.

Passo 4

Agora, a afirmação (II):
Usando o critério da razão, é possível concluir que a série an = 2^nn converge.
Vamos aplicar o critério da razão nessa série. Primeiro, identifiquemos o termo geral:
L = limn to infty an+1an = limn to infty 2^n+1/(n+1)2^n/n = limn to infty 2 cdot nn+1 = 2
Calculando o limite:
Como , pelo critério da razão, a série diverge. Portanto, a afirmação (II) é falsa.

Passo 5

Vamos para a afirmação (III):
Usando o critério da razão, podemos concluir que a série an = 1n diverge.
Aqui, a série é a série harmônica:
L = limn to infty an+1an = limn to infty 1/(n+1)1/n = limn to infty nn+1 = 1
Calculando o limite:
Como , o critério da razão é inconclusivo. Mas sabemos, por outros métodos, que a série harmônica diverge. Contudo, com base apenas no critério da razão, não podemos concluir isso diretamente. Portanto, a afirmação (III) é falsa.

Resposta

A alternativa correta é a letra (a) apenas (I) é verdadeira.

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