Usando a série de potências de sen( x ), determine, com três casas decimais, sen (10^circ).
  • Resposta. 0, 174.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcularmos o seno de 10 graus usando a série de potências de sin(x). Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão em série da função seno e aplicar essa série para calcular sin(10^circ).

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que as séries de potências geralmente trabalham com ângulos em radianos. Então, vamos converter os 10 graus para radianos. A fórmula para converter graus para radianos é:
xrad = xgraus times pi180
Aplicando para 10 graus:
10^circ times pi180 = pi18 radianos

Passo 3

Agora, vamos usar a série de Taylor para a função seno, que é dada por:
sin(x) = x - x^33! + x^55! - x^77! + dots
Essa série nos permite calcular o valor de sin(x) aproximando com um número finito de termos.

Passo 4

Vamos calcular sin(pi18) usando os primeiros três termos da série para obter uma boa aproximação:
sin(pi18) approx pi18 - (pi18)^33! + (pi18)^55!
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Calculando o primeiro termo:
pi18 approx 3,141618 approx 0,1745
Calculando o segundo termo:
(pi18)^33! = (0,1745)^36 approx 0,00536 approx 0,0009
Calculando o terceiro termo:
(pi18)^55! = (0,1745)^5120 approx 0,0002120 approx 0,000002

Passo 6

Agora, vamos somar os termos calculados, lembrando dos sinais alternados da série:
0,1745 - 0,0009 + 0,000002 approx 0,1736
Arredondando para três casas decimais, temos aproximadamente 0,174.

Resposta

sin(10^circ) approx 0,174.

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