Encontre as equações paramétricas da reta tangente, no valor de
, à curva dada pelas equações paramétricas
.
Passo 1
Neste exercício queremos achar as equações paramétricas da reta tangente, no ponto correspondente a t₀=1, à curva no espaço dada por x=ln , y=(t−1)/(t+2) e z=t
lm . Vamos usar o fato de que a reta tangente a uma curva paramétrica r(t) em t₀ passa pelo ponto r(t₀) e tem direção dada por r′(t₀).
lm . Vamos usar o fato de que a reta tangente a uma curva paramétrica r(t) em t₀ passa pelo ponto r(t₀) e tem direção dada por r′(t₀).
Passo 2
Primeiro calculamos o ponto de tangência P₀=r(1). Substituindo t=1: x(1)=ln 1=0, y(1)=(1−1)/(1+2)=0, z(1)=1⋅ln 1=0. Logo P₀=(0,0,0).
Passo 3
Agora precisamos do vetor derivada r′(t)=(x′(t),y′(t),z′(t)). Derivando cada componente: para x=ln temos x′(t)=1/t; para y=(t−1)/(t+2) usamos a regra do quociente y′(t)=[(1)(t+2)−(t−1)(1)]/(t+2)²=3/(t+2)²; para z=t
lm aplicamos produto: z′(t)=ln +1. Avaliando em t=1 dá x′(1)=1, y′(1)=3/9=1/3, z′(1)=0+1=1. Portanto o vetor tangente é v=(1,1/3,1).
lm aplicamos produto: z′(t)=ln +1. Avaliando em t=1 dá x′(1)=1, y′(1)=3/9=1/3, z′(1)=0+1=1. Portanto o vetor tangente é v=(1,1/3,1).
Passo 4
Finalmente, a equação vetorial da reta tangente é r(1)+s·r′(1), ou em paramétricas, tomando s como parâmetro:
– x(s)=0+1·s=s
– y(s)=0+(1/3)·s=s/3
– z(s)=0+1·s=s
– x(s)=0+1·s=s
– y(s)=0+(1/3)·s=s/3
– z(s)=0+1·s=s
Resposta
[\n\begin{cases}\n x=s,\\n y=\frac{s}{3},\\n z=s\n\end{cases}\n]